c’est-à-dire la résultante de la combinaison des trois lettres a, ù,c, égalée à zéro. On démontrerait la même chose, quel que soit le nombre des équations.
Pour montrer l’analogie de cette matière avec l’élimination des équations du premier degré, je suppose que l’on ait les trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&\sideset {^{1}}{}a\mu +\sideset {^{1}}{}b\mu '+\sideset {^{1}}{}c\mu '',\\\sideset {^{2}}{}p=&\sideset {^{2}}{}a\mu +\sideset {^{2}}{}b\mu '+\sideset {^{2}}{}c\mu '',\\\sideset {^{3}}{}p=&\sideset {^{3}}{}a\mu +\sideset {^{3}}{}b\mu '+\sideset {^{3}}{}c\mu ''.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e03e64f093ee3d8f9698f0d01b431a54b9fbfb8)
Je multiplie, comme ci-devant, la première par
la deuxième par
et la troisième par
je les ajoute ensemble, et j’observe que les coefficients de
et de
sont identiquement nuls dans l’équation qui en résulte ; d’où je conclus
![{\displaystyle \mu ={\frac {\sideset {^{1}}{}p\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}p\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}p\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right)}{\sideset {^{1}}{}a\left(\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c-\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\right)+\sideset {^{2}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}c\right)+\sideset {^{3}}{}a\left(\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}c-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}b\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cde3d80db5582050450205e7e70f4c9463ef80)
on voit donc que le numérateur de l’expression de
se forme du dénominateur, en y changeant
en
on aura ensuite
ou
en changeant, dans l’expression de
en
ou en
et réciproquement ; mais, en changeant, dans le dénominateur de
en
et réciproquement, on a toujours, par ce qui précède, la même quantité, au signe près ; donc la valeur de
sera
étant le dénominateur de
ou, ce qui revient au même, la première résultante des trois lettres
se formera de
en y changeant
en
partant,
se formera de
en y changeant
en
; donc
![{\displaystyle \mu '=\mathrm {{\frac {K}{-R}}={\frac {-K}{R}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf3deaec78c32765e52c09746b2879a9debb119)
ainsi l’expression de
est réduite au même dénominateur que celle de
et les numérateurs de ces deux expressions se forment du dénominateur commun
en y changeant
en
pour
et
en
pour
on démontrerait de la même manière que l’expression de
à
pour dénominateur, et que son numérateur se forme de
en y changeant