Je suppose que vous ayez quatre équations ; écrivez
![{\displaystyle +abc-acb+cab,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5261a8d697d69ea98bad42ac093d5e8c37a4ae39)
et combinez ces trois termes avec la lettre
en observant : 1o de n’admettre que les termes dans lesquels
précède
2o de changer de signe dans chaque terme toutes les fois que
change de place, et vous aurez
![{\displaystyle +abcd-acbd+acdb+cabd-cadb+cdab\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5dcb21b3dc8fddb7b26fc9e9b4e9654300450eb)
donnez ensuite l’indice
à la première lettre, l’indice
à la deuxième, etc., et vous aurez
![{\displaystyle +\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}c\sideset {^{4}}{}d-\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}b\sideset {^{4}}{}d+\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}d\sideset {^{4}}{}b+\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{3}}{}b\sideset {^{4}}{}d-\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{3}}{}d\sideset {^{4}}{}b+\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}d\sideset {^{3}}{}a\sideset {^{4}}{}b\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f32f2a9dcf9925cdeed6e0666da47fdc2fafb81)
cela posé, au lieu de
écrivez
![{\displaystyle +\left(\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}a\right)\left(\sideset {^{3}}{}c\sideset {^{4}}{}d-\sideset {^{3}}{}d\sideset {^{4}}{}c\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14754767b9c7751497d8a71bcf1229a7c46bb3b4)
et ainsi des autres termes, et l’équation de condition sera
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{2}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{2}}{}a\right)\left(\sideset {^{3}}{}c\sideset {^{4}}{}d-\sideset {^{3}}{}d\sideset {^{4}}{}c\right)-\left(\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}a\right)\left(\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{4}}{}d-\sideset {^{2}}{}d\sideset {^{4}}{}c\right)\\&+\left(\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{4}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{4}}{}a\right)\left(\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{3}}{}d-\sideset {^{2}}{}d\sideset {^{3}}{}c\right)+\left(\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{3}}{}a\right)\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{4}}{}d-\sideset {^{1}}{}d\sideset {^{4}}{}c\right)\\&-\left(\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{4}}{}b-\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{4}}{}a\right)\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{3}}{}d-\sideset {^{1}}{}d\sideset {^{3}}{}c\right)+\left(\sideset {^{3}}{}a\sideset {^{4}}{}b-\sideset {^{3}}{}b\sideset {^{4}}{}a\right)\left(\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{2}}{}d-\sideset {^{1}}{}d\sideset {^{2}}{}c\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c699a3b34f5afeef90f59dd5397b816db9222305)
Je suppose que vous ayez cinq équations ; écrivez les six termes
relatifs à quatre équations, et combinez-les avec la lettre
de toutes les manières possibles, en observant de changer de signe chaque fois que
change de place ; donnez ensuite l’indice
à la première lettre de chaque terme, l’indice
à la deuxième, etc. ; cela posé, transformez chacun de ces termes dans un autre suivant la méthode que nous venons de prescrire pour les équations à trois et à quatre inconnues ; ainsi, au lieu du terme
écrivez
![{\displaystyle +\left(\sideset {^{1}}{}a\sideset {^{3}}{}b-\sideset {^{1}}{}b\sideset {^{3}}{}a\right)(\sideset {^{2}}{}c\sideset {^{5}}{}d-\sideset {^{2}}{}d\sideset {^{5}}{}c)\sideset {^{4}}{}e\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e86f06be77ad5843a25b8139f4ec7547623ee4b6)
en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l’équation de condition demandée.
Lorsqu’on aura six équations, on combinera les termes
![{\displaystyle +abcde-abced+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b9f8865a224b43de6de65ccadffaae764277e2)