des équations précédentes par
et j’en retranche la deuxième ; je multiplie la deuxième par
et j’en retranche la troisième, et ainsi de suite, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{n-1}}{}f\mathrm {H} \ \ -\mathrm {H} _{1}=&b\sin \varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-f\right)+\sideset {^{1}}{}b\sin \sideset {^{1}}{}\varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-\sideset {^{1}}{}f\right)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\sideset {^{n-2}}{}b\sin \sideset {^{n-2}}{}\varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-\sideset {^{n-2}}{}f\right),\\\sideset {^{n-1}}{}f\mathrm {H} _{1}-\mathrm {H} _{2}=&fb\sin \varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-f\right)+\sideset {^{1}}{}f\sideset {^{1}}{}b\sin \sideset {^{1}}{}\varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-\sideset {^{1}}{}f\right)+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +\sideset {^{n-2}}{}b\sin \sideset {^{n-2}}{}\varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-\sideset {^{n-2}}{}f\right),\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b7ce5ac5a09dec98dd6e02e4cc52686c12d7b1)
Je multiplie pareillement la première de ces équations par
et j’en retranche la deuxième ; je multiplie la deuxième par
et j’en retranche la troisième, et ainsi de suite, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \ \ &\sideset {^{n-1}}{}f\sideset {^{n-2}}{}f-\mathrm {H} _{1}\left(\sideset {^{n-2}}{}f+\sideset {^{n-1}}{}f\right)+\mathrm {H} _{2}\\&=\ b\sin \varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-f\right)\left(\sideset {^{n-2}}{}f-f\right)+\ldots \\&+\sideset {^{n-3}}{}b\sin \sideset {^{n-3}}{}\varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-\sideset {^{n-3}}{}f\right)\left(\sideset {^{n-2}}{}f-\sideset {^{n-3}}{}f\right),\\\\\mathrm {H} _{1}&\sideset {^{n-1}}{}f\sideset {^{n-2}}{}f-\mathrm {H} _{2}\left(\sideset {^{n-2}}{}f+\sideset {^{n-1}}{}f\right)+\mathrm {H} _{3}\\&=fb\sin \varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-f\right)\left(\sideset {^{n-2}}{}f-f\right)+\ldots \\&+\sideset {^{n-3}}{}f\sideset {^{n-3}}{}b\sin \sideset {^{n-3}}{}\varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-\sideset {^{n-3}}{}f\right)\left(\sideset {^{n-2}}{}f-\sideset {^{n-3}}{}f\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f801daec7a59f97aff6ba3b79bad0c0e61fa7d)
Je multiplie la première de ces équations par
et j’en retranche la deuxième, et ainsi de suite, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \,&\sideset {^{n-1}}{}f\sideset {^{n-2}}{}f\sideset {^{n-3}}{}f-\mathrm {H} _{1}\left(\sideset {^{n-1}}{}f\sideset {^{n-3}}{}f+\sideset {^{n-2}}{}f\sideset {^{n-3}}{}f+\sideset {^{n-1}}{}f\sideset {^{n-2}}{}f\right)\\&+\mathrm {H} _{2}\left(\sideset {^{n-1}}{}f+\sideset {^{n-2}}{}f+\sideset {^{n-3}}{}f\right)-\mathrm {H} _{3}\\&=b\sin \varpi \left(\sideset {^{n-1}}{}f-f\right)\left(\sideset {^{n-2}}{}f-f\right)\left(\sideset {^{n-3}}{}f-f\right)+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e34b906bad06cf4666390baa4ff329330304c379)
De là, il est aisé de voir que si l’on nomme ϐ la somme de toutes les racines
la somme de tous leurs produits deux à deux ;
la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, on aura
![{\displaystyle b\sin \varpi ={\frac {\mathrm {H} _{n-1}-{\text{ϐ}}\mathrm {H} _{n-2}+\gamma \mathrm {H} _{n-3}-\lambda \mathrm {H} _{n-4}+\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{3}}{}f\right)\ldots \left(f-\sideset {^{n-1}}{}f\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b132350ffd6b4acf68896cec1d6ac205f4f76762)
On aura
en changeant successivement dans cette