valeur de
en
et réciproquement. On aura de la même manière
![{\displaystyle {\begin{aligned}b'\,\sin \varpi =&{\frac {\mathrm {H} '_{n-1}-{\text{ϐ}}\mathrm {H} '_{n-2}+\gamma \mathrm {H} '_{n-3}-\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots \left(f-\sideset {^{n-1}}{}f\right)}},\\b''\sin \varpi =&{\frac {\mathrm {H} ''_{n-1}-\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\ldots }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13823f4409e6b0bbd1615b7616d66c01dffed16b)
et l’on en conclura
en y changeant successivement
en
et réciproquement.
De plus, il est aisé de voir, par la nature des équations
qu’il suffit pour avoir
de changer dans l’expression précédente de
en
désignant donc par
des fonctions en
pareilles à celles de
en
on aura
![{\displaystyle b\cos \varpi ={\frac {\mathrm {L} _{n-1}-{\text{ϐ}}\mathrm {L} _{n-2}+\gamma \mathrm {L} _{n-3}-\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd0fa9e1a44469dcde5e8dff46f07164cfdf3e14)
et de là on conclura facilement ![{\displaystyle \sideset {^{1}}{}b\cos \sideset {^{1}}{}\varpi ,\sideset {^{2}}{}b\cos \sideset {^{2}}{}\varpi ,\ldots \,;b'\cos \varpi ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c06ef6ab14f2b130ef79efaea9fc82fda701fb7)
Les quantités ϐ
peuvent se déterminer aisément de cette manière : soit
![{\displaystyle x^{n}-\theta x^{n-1}+\sideset {^{1}}{}\theta x^{n-2}-\sideset {^{2}}{}\theta x^{n-3}+\sideset {^{3}}{}\theta x^{n-4}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e8c2d00fe52965d4ac49c3589932fa4bfdee936)
l’équation dont les différentes racines sont
on aura, en divisant cette équation par ![{\displaystyle x-f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ac9db86e0590bcb87828b77ebdaccfccf996c4)
![{\displaystyle x^{n-1}-{\text{ϐ}}x^{n-2}+\gamma x^{n-3}-\lambda x^{n-4}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f10ba01d94fc23175b785be3790648740794c2aa)
donc, en multipliant cette dernière équation par
et la comparant terme à terme à la première, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ϐ}}+\ \ \ f=&\theta ,\\\gamma +{\text{ϐ}}f=&\sideset {^{1}}{}\theta ,\\\lambda +\gamma f=&\sideset {^{2}}{}\theta ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e59e8057d7a271763103aa23557e3ed7f36299)
ou
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{ϐ}}=&\ \ \theta -f,\\\gamma =&\sideset {^{1}}{}\theta -{\text{ϐ}}f,\\\lambda =&\sideset {^{2}}{}\theta -\gamma f,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25f8ccd09e3d4b5dc3822a8acf66e82b397921f)