Quant au produit
on le déterminera facilement en considérant que l’équation
![{\displaystyle x^{n}-\theta x^{n-1}+\sideset {^{1}}{}\theta x^{n-2}-\ldots =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad158a3df81efca54c236750cc1e6ece1c5186cf)
peut être mise sous cette forme
![{\displaystyle (x-f)\left(x-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(x-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cecd9648e1d7221d49c2f5dccca0c35a8f49d9ca)
en sorte que
![{\displaystyle (x-f)\left(x-\sideset {^{1}}{}f\right)\ldots =x^{n}-\theta x^{n-1}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f292dfe7aa969bd65552cdda3cb6ba822ac7e627)
Soit
étant supposé infiniment petit, et l’on aura, en négligeant les quantités de l’ordre
et divisant par ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots =nf^{n-1}-(n-1)\theta f^{n-2}+(n-2)\,\sideset {^{1}}{}\theta f^{n-3}-\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212afb4e5012b2e52e1396d1fe6557d1f7389731)
Maintenant on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}h=&b\sin \varpi \cos \alpha fT+b\cos \varpi \sin \alpha fT+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}h=&b\cos \varpi \cos \alpha f\mathrm {T} -b\sin \varpi \sin \alpha f\mathrm {T} +\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22742c99ec2d72bd4722edbd19cb3115149e5684)
Donc l’équation
de l’article III donne, en y supposant ![{\displaystyle t_{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fefc0ef0dbfd70994e581458810374ff8843b5c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&\quad \ \ \ b\sin \ \ \varpi \sin(q-\alpha \ \ f)\mathrm {T} +\ \ b\cos \ \ \varpi \cos(q-\alpha \ \ f)\mathrm {T} \\&+\sideset {^{1}}{}b\sin \sideset {^{1}}{}\varpi \sin(q-\alpha \sideset {^{1}}{}f)\mathrm {T} +\sideset {^{1}}{}b\cos \sideset {^{1}}{}\varpi \cos(q-\alpha \sideset {^{1}}{}f)\mathrm {T} \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {\alpha q\left[(0,1)+{\overline {(0,1)}}\right]}{2q'(q-q')}}\\&\qquad \times \left[b'\sin \varpi \sin(2q'-q-\alpha f)\mathrm {T} +b'\cos \varpi \cos(2q'-q-\alpha f)\mathrm {T} \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41de532112a57b4896ca2b79a47eb407e310b0cc)
C’est la valeur de
après le temps quelconque ![{\displaystyle \mathrm {T} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62cd2ca7157c8ae9fcf10598339b774c8294d5ce)
Si l’on voulait porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre
on ferait varier les nouvelles constantes arbitraires
comme nous l’avons fait dans l’article I.
VI.
On pourrait encore étendre aux équations à un nombre quelconque de variables la méthode que nous avons donnée (art. II) pour une équation différentielle à deux variables ; je suppose, en effet, que l’on