croissent des quantités ![{\displaystyle \delta a,\delta b,\ldots \,;\delta p,\delta q,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008ea83303a1df9bfa3e2a796fe465b665048de2)
étant extrêmement petits ; on aura, comme l’on sait, en négligeant les quantités de l’ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=\varphi (t,p,q,\ldots ,a,b,\ldots )&+\delta p{\frac {\partial \varphi (t,p,q,\ldots ,a,b,\ldots )}{\partial p}}\\&+\delta q{\frac {\partial \varphi (t,p,q,\ldots ,a,b,\ldots )}{\partial q}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\delta a{\frac {\partial \varphi (t,p,q,\ldots )}{\partial a}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49cb222c141d7017f71b0c3e1d565cdfcb002876)
étant les valeurs de
à l’origine de l’intégrale ; en regardant conséquemment
comme constants, on néglige, dans l’expression de
la quantité
![{\displaystyle \delta p{\frac {\partial z}{\partial p}}+\delta q{\frac {\partial z}{\partial q}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial z}{\partial a}}+\delta b{\frac {\partial z}{\partial b}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9991cabc9cbaad0911a08c16b6c4d84485f5614b)
Faisant donc en sorte que cette erreur soit nulle, on aura l’équation
![{\displaystyle 0=\delta p{\frac {\partial z}{\partial p}}+\delta q{\frac {\partial z}{\partial q}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial z}{\partial a}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b6e6d25315ce53877e71292c1bf97b8e51ead0)
la même que nous avons trouvée précédemment. En raisonnant sur les valeurs de
comme nous venons de le faire sur celle de
nous aurons les autres équations.
Exemple. – Je suppose que l’on veuille intégrer l’équation différentielle
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+p^{2}z=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec0e6a40995f04cdaca78e875d4fce718b596b5)
étant une quantité croissant très lentement, et telle que l’on ait
![{\displaystyle p=m\cos(\alpha t+\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68b64ffd1d7ecacb0b231103879c36bf212054a2)
étant extrêmement petit ; j’intègre d’abord cette équation en supposant
constant, ce qui donne
![{\displaystyle z=a\sin pt+b\cos pt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae97cde22fcbe40f30f25081cd6b221c3b806d0)