et l’on a, par ce qui précède, les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(da-btdp)\sin pt+(db+atdp)\cos pt,\\0=&(adp-pda-pbtdp)\cos pt-(bdp+pdb+patdp)\sin pt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6dea119ae9ff85c3bffbdda726db68a461c3bcf)
La supposition de
extrêmement grand fait disparaître le terme
devant
il peut donc être négligé, ainsi que le terme
on aura ainsi les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(da-btdp)\sin pt+(db+atdp)\cos pt,\\0=&(da-btdp)\cos pt-(db+atdp)\sin pt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7128503dbe4b6e39a3608aab7a4248bd00d80803)
Je multiplie la première par
et la seconde par
et je les ajoute, ce qui donne
![{\displaystyle 0=da-btdp\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7adbb9247be6e2fe0ae46c43de163e61477e56b3)
je multiplie ensuite la seconde par
et je la retranche de la première multipliée par
ce qui donne
![{\displaystyle 0=db+atdp\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e7cb106b77782c8ca3bb336703769e1d9e0be4c)
soit
on aura
![{\displaystyle 0=da-bds,\qquad 0=db+ads,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca3f9aacea9274bed6160df9ce2cc362c7ea1631)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle a=f\sin(s+\varpi ),\qquad b=f\cos(s+\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b1b05d322045c4b99fe97b69689da504e657867)
et
étant deux constantes arbitraires ; donc
![{\displaystyle z=f\sin(s+\varpi )\sin pt+f\cos(s+\varpi )\cos pt=f\cos(pt-s-\varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5760e09e6fd89e638e9bf0ae6be9708a3272b8)
or
![{\displaystyle s=\int tdp=pt-\int pdt=pt-{\frac {m}{\alpha }}\sin(\alpha t+\varepsilon )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e38476cc2b67b60b1112b3bf7bbac805bfa8253f)
donc
![{\displaystyle z=f\cos \left[-\varpi +{\frac {m}{\alpha }}\sin(\alpha t+\varepsilon )\right]\,:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d11768b0a665f91c6c1104a487cb03298cf802)
c’est l’expression de
en négligeant les quantités de l’ordre
qui restent toujours fort petites, quel que soit le temps
.