2o au lieu de
de substituer
car, en négligeant les quantités de l’ordre
on a
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}=n^{2}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4050b1916c060fe442dac931303c5bb40c7953db)
et
![{\displaystyle \qquad \delta \mu '=\mathrm {\frac {P'}{S}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9dd632171f5e50dbf94bd9f35f3e8f2328a24e)
3o au lieu de
d’écrire
![{\displaystyle na^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0755b7f8448cc62e331f9258f12a0c2c9729b978)
On comparera ensuite séparément les termes sans
ceux de l’ordre
ceux de l’ordre
l’équation (16) en donnera donc trois autres entre
et
l’équation (17) en donnera trois entre
et
et l’équation (18) en donnera un en ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Les substitutions précédentes n’ont de difficultés que celles qui peuvent venir du développement de
il ne sera donc pas inutile de faire quelques remarques à ce sujet.
XIII.
exprimant la distance de
à
on a, comme il est facile de s’en assurer,
![{\displaystyle \sideset {^{1}}{^{2}}v=r^{2}-2rr'coss(vf'-vf)+r'^{2}+(r's'-rs)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecdddb85f6c16d8bf887bc340798271e7be1b4f)
donc
![{\displaystyle {\frac {1}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}={\frac {1}{\left[r^{2}+r'^{2}+(r's'-rs)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}{\frac {1}{\left[1-{\cfrac {2rr'\cos(\varphi '-\varphi )}{r^{2}+r'^{2}+(r's'-rs)^{2}}}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/529d91348c636ba861508a9a1e99836f85a14300)
soit, pour abréger,
![{\displaystyle {\frac {2rr'}{r^{2}+r'^{2}+(r's'-rs)^{2}}}=q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ff48a1b69751c65f297b5bc19597029094adf0)
on aura (voir la première pièce de M. Euler sur Jupiter et Saturne, ou le premier Volume du Calcul intégral de cet illustre auteur)
![{\displaystyle {\frac {1}{\left(1+{\cfrac {a'^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left[1-q\cos(\varphi '-\varphi )\right]^{\mu }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d175b90e5e18c228345fa55131b82cbe9632c8f)
![{\displaystyle =b+b_{1}\cos(\varphi '-\varphi )+b_{2}\cos 2(\varphi '-\varphi )+b_{3}\cos 3(\varphi '-\varphi )+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7f9bede4a621038b30f7374b103e1d397653f65)