dépend, comme nous l’avons déjà observé, l’équation séculaire du moyen mouvement de la planète ; or, si, dans l’équation (17) de l’article XI, on substitue, au lieu de
au lieu de
sa valeur trouvée dans l’article précédent, et que l’on ne conserve que les termes de l’ordre
proportionnels à
il est clair d’abord que les termes sans
et ceux de l’ordre
disparaîtront d’eux mêmes en vertu des valeurs précédentes de
et de
de plus, on trouvera, par un calcul fort simple,
![{\displaystyle \lambda =ee'\sin \mathrm {V} \left(2\mathrm {K} -{\frac {3}{2}}\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} \right)+\gamma \gamma '\sin \mathrm {U} \left[2\mathrm {L} -{\frac {3}{8}}i(b_{1})\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd03c7d7eb20ef01bf4349557035ee56c2b8b022)
ensuite l’équation (16) de l’article XI donne, en y substituant, au lieu de
et ne conservant parmi les termes de l’ordre
que ceux qui sont proportionnels à ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
![{\displaystyle {\text{ϐ}}=ee'\sin \mathrm {V} \left({\frac {3}{4}}\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} -{\frac {3}{2}}\mathrm {K} \right)+\gamma \gamma '\sin \mathrm {U} \left[{\frac {3}{8}}i(b_{1})-{\frac {3}{2}}\mathrm {L} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5135ea9019d0f92946d776c19ba206902cd36fe5)
Il est visible que le terme
donne l’équation séculaire du moyen mouvement de la planète, et comme cette inégalité est la plus essentielle à déterminer, il ne sera pas inutile de chercher à la mettre sous la forme la plus simple dont elle est susceptible.
Pour cela, j’observe que l’on a, par l’article XIV,
![{\displaystyle \mathrm {L} ={\frac {3i^{2}}{4\left(1+i^{2}\right)}}\left[(b)-{\frac {1}{2}}(b_{2})\right]+{\frac {i^{3}}{\left(1+i^{2}\right)^{2}}}\left[\left({\frac {db}{dq}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {db_{2}}{dq}}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a713c17532f5e46b977bc1d833489295114ec741)
or, si l’on substitue, au lieu de
leurs valeurs en
et
trouvées dans l’article XIII, on aura
![{\displaystyle \mathrm {L} ={\frac {1}{4}}i(b_{1})\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0241738157b75fd6c4e37d79f0e8c9cd3634a6e)
partant,
![{\displaystyle {\frac {3}{8}}i(b_{1})-{\frac {3}{2}}\mathrm {L} =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c82cc30f5fb243deedf6b47d2c29a31710a6e39)
ce qui réduit déjà l’expression de ϐ à celle-ci
![{\displaystyle {\text{ϐ}}=ee'\sin \mathrm {V} \left({\frac {3}{4}}\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} -{\frac {3}{2}}\mathrm {K} \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c4625954634bb53fce72763a5049d16a5b4fecd)
de plus, on a
![{\displaystyle \mathrm {\sideset {^{2}}{}L=2C-2E+\sideset {^{1}}{}H-\sideset {^{1}}{}F} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b21a847a951cb8e2f477316ea38437b5dfb80093)