et en substituant, au lieu de
et
leurs valeurs en
et
que l’on tirera facilement des articles XIII et XIV, on trouvera
![{\displaystyle \mathrm {\sideset {^{2}}{}L} =3i(b)-(b_{1})\left(1+i^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac98c066f27eb72c586aea4c5d8604acfc357d35)
on trouvera de la même manière
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {3}{2}}i(b)-{\frac {1}{2}}(b_{1})\left(1+i^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2e5bda22915725b75326a6117e8ae6c4c719c7)
d’où l’on tire
c’est-à-dire que l’équation séculaire du moyen mouvement de la planète est nulle, au moins en ne poussant l’approximation que jusqu’aux quantités de l’ordre
Nous verrons ciaprès qu’elle serait encore nulle, en ayant égard aux termes de l’ordre
et comme les quantités des ordres
et
sont déjà excessivement petites, on peut en conclure que l’action réciproque des planètes, les unes sur les autres, n’a pu sensiblement altérer leurs moyens mouvements, depuis le temps au moins auquel on a commencé à cultiver l’Astronomie, jusqu’à nos jours ; résultat analogue à celui que j’ai trouvé par une autre méthode dans les Savants étrangers, année, 1773, page 218[1].
XVIII.
Reprenons maintenant les valeurs de
et de
en y ajoutant les valeurs de
et de
trouvées ci-dessus dans la supposition de
on aura
![{\displaystyle r=a\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}+\alpha e\cos(nt+\theta )\\&-\alpha (\mathrm {F+G} )\delta \mu 'ent\sin(nt+\theta )+\alpha ^{2}\delta \mu '\lambda nt\\&+{\frac {\alpha .\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} }{2}}e'nt\delta \mu '\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')+\mathrm {Y} \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3a99fda272bf90b02d48cc3ee512e1fb17faa3)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}s=&\alpha \gamma \sin(nt+\varpi )+{\frac {\alpha \gamma (b_{1})i}{4}}\delta \mu 'nt\cos nt+\varpi )\\&-{\frac {\alpha \gamma '(b_{1})i}{4}}\delta \mu 'nt\cos(nt-\mathrm {B} +\varpi ')+\mathrm {Z} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9ab51da1a0defcee38c29ccc21bdef0c071a10)
et
étant des quantités périodiques qui ne renferment point d’arcs
- ↑ Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 263.