et
étant des quantités périodiques ou qui ne renferment point d’arcs de cercle. Or, si l’on nomme
la distance réelle de la planète
à son aphélie,
les angles compris à l’origine du mouvement entre les projections des planètes
et la ligne fixe d’où l’on commence à compter les longitudes, on aura, en négligeant les quantités de l’ordre
![{\displaystyle \mathrm {B_{1}=A} +\varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33a4be596141018458268bdf29c1c9edd0855a2)
de plus, on a, par l’article IX,
![{\displaystyle \theta =\varepsilon +2\alpha e\sin \varepsilon \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93bdd04e655ff4b116e3f235c8affe120e89d1db)
donc
![{\displaystyle \theta =\mathrm {B_{1}-A} +2\alpha e\sin(\mathrm {B_{1}-A} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fa7760837c11d6fd548f6de660cbaf5ac16cdc)
or on a (art. XIV)
![{\displaystyle \mathrm {B=A'-A} +\theta '-\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca12c0b90e672c8a6c9124da85dfa572b3caecb)
donc
![{\displaystyle \mathrm {B=B_{1}'-B_{1}} +2\alpha e'\sin \left(\mathrm {B_{1}'-A'} \right)-2\alpha e\sin(\mathrm {B_{1}-A} )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afeee84636525a67cde12e196dca14825c01e1d)
on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\cos q(n't-nt+\mathrm {B} )=\cos q(n't-nt+\mathrm {B'_{1}-B} )\\&+\left[2\alpha eq\sin(\mathrm {B_{1}-A} )-2\alpha e'q\sin(\mathrm {B'_{1}-A'} )\right]\sin q(n't-nt+\mathrm {B'_{1}-B_{1}} )\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e757f42ae9c83dda807086c4b69fcca7d99cc0d)
on a de plus, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\cos(nt+\theta )=&\cos(nt+\mathrm {B_{1}-A\ } )&&=\cos \mathrm {A} \ \cos(nt+\mathrm {B} _{1})&+&\sin \mathrm {A} \ \sin(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\sin(nt+\theta )=&\sin(nt+\mathrm {B_{1}-A\ } )&&=\cos \mathrm {A} \ \sin(nt+\mathrm {B} _{1})&-&\sin \mathrm {A} \ \cos(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')=&\sin(nt+\mathrm {B_{1}-A'} )&&=\cos \mathrm {A} '\sin(nt+\mathrm {B} _{1})&-&\sin \mathrm {A} '\cos(nt+\mathrm {B} _{1}),\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a912c93e063bee20d1c5c45e9877081ea36516)
![{\displaystyle \sin \mathrm {V=\sin(A'-A)=\sin A'\cos A-\sin A\cos A'} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b578f9444dbc474c7eeb03f5729783ad2a9d2cbe)
Nommons ensuite
les distances des nœuds de
à la ligne fixe, à l’origine du mouvement, et nous aurons, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2cc8f6d373595f06dcd33f127dadf2b9d5727f)
![{\displaystyle \mathrm {B_{1}-\varpi =C_{1}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b83fd13712e324d340d2f65168a0142e14442d2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sin(nt+\varpi )=&\sin(nt+\mathrm {B_{1}-C_{1}} )=&\cos \mathrm {C} _{1}\sin(nt+\mathrm {B} _{1})&-\sin \mathrm {C} _{1}\cos(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\cos(nt+\varpi )=&\cos(nt+\mathrm {B_{1}-C_{1}} )=&\cos \mathrm {C} _{1}\cos(nt+\mathrm {B} _{1})&+\sin \mathrm {C} _{1}\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89f0f3cedf15a7144759d7d032feff013c0ac0f0)