pour la première,
![{\displaystyle -\delta \mu \Gamma \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dsdr}{dt^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6748f325c2ee9842ed771e4847852af1477f567)
et pour la seconde,
![{\displaystyle -\delta \mu \Gamma \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dsd\varphi }{dt^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbd1496b8ff0144b2f7a89fb49326ffc21c751a)
de cette manière, les quantités que nous avons nommées
et
dans l’article VIII, deviendront, en faisant ![{\displaystyle {\frac {1}{r}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bbde48496d921cb6dc58f74455aba07482aefdc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi \ =&-(\mathrm {S+P} )u^{2}+\delta \mu \Gamma (u){\frac {dsdu}{u^{2}dt^{2}}},\\\psi '=&-\delta \mu \Gamma (u){\frac {dsd\varphi }{udt^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa32295d030724097785bd5e1b51283547e39776)
mais on peut, en négligeant les quantités de l’ordre
mettre dans les termes multipliés par
au lieu de
ou
(art. IX), et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi \ =&-(\mathrm {S+P} )u^{2}+\delta \mu \Gamma (u)h^{2}u^{2}{\frac {dsdu}{d\varphi ^{2}}},\\\psi '=&-\delta \mu \Gamma (u)h^{2}u^{3}{\frac {ds}{d\varphi }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/210e9b95bf9f35d4fc5f36bbe4bc3eb60b3f1097)
l’équation
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u+{\frac {{\cfrac {\psi }{u^{2}}}+{\cfrac {1}{u^{3}}}\psi '{\cfrac {du}{d\varphi }}}{h^{2}+2\int \psi '{\cfrac {\varphi }{u^{3}}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac1837e7130b4edf31bee13f5456a2192676d67)
trouvée dans l’article VIII, deviendra donc, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \delta \mu ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08a089b89fd8a7318ede4ea06ab219c25ddd38c9)
![{\displaystyle (h)\qquad \qquad 0={\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}-{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78e1507b15761d876083d12f9bcb8a5fcd13354f)
étant constant, et
étant, par l’article IX, égal à
![{\displaystyle {\sqrt {(\mathrm {S+P} )a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72331a73b201793025de4f4c161d12a56e269d8a)
étant le demi grand axe et
l’excentricité de l’ellipse que la planète décrirait dans l’hypothèse de
l’intégrale de l’équation ![{\displaystyle (h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/825fcd875712571f7d5a84b774cb1741e6cf2a2d)