est, par le même article, lorsque
![{\displaystyle u={\frac {1}{r}}={\frac {1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074fbccc0c2af646414827ac4355d4333c2f94b3)
mais, si l’on suppose que
n’est pas nul, il faut différentier l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761786bd238ab586956c4f909e046128d2aa9ca4)
par rapport à
et y ajouter le terme
ce qui donne
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\delta u}{d\varphi ^{2}}}+\delta u-2{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912827a48788a70e80bf885a7d0d96d8f28f7961)
or
![{\displaystyle ds={\sqrt {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eecf2018f049e86f6fbdc4a9efac373b965474)
et
![{\displaystyle \qquad \Gamma (u)=\Gamma \left[{\frac {1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/197091928bb8bb1ca6d4fb09440dd278283733e8)
de là on aura, en réduisant en séries,
![{\displaystyle -{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u)=-\delta \mu \left[\mathrm {A} \varphi +\mathrm {B} \sin(\varphi +\varepsilon )+\mathrm {C} \sin 2(\varphi +\varepsilon )+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd4749163cb64a23237d9e20999673ecc318360c)
cette série sera d’autant plus convergente que
sera plus petit, mais,
étant toujours moindre que l’unité, elle convergera dans tous les cas, surtout après les intégrations ; on aura donc
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\delta u}{d\varphi ^{2}}}+\delta u-\delta \mu \left[\mathrm {A} \varphi +\mathrm {B} \sin(\varphi +\varepsilon )+\mathrm {C} \sin 2(\varphi +\varepsilon )+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026f1c6d4b9f13aab4bf40c5362358c4a6132e6f)
partant,
![{\displaystyle \delta u=\delta \mu \left[\mathrm {A} \varphi +{\frac {\mathrm {B} }{2}}\varphi \cos(\varphi +\varepsilon )-{\frac {\mathrm {C} }{3}}\sin 2(\varphi +\varepsilon )-\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74880552d8c44f1232f2115b3b071ad1bcc6c876)
et
![{\displaystyle {\begin{aligned}u=&{\frac {1}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}+\delta \mu \mathrm {A} \varphi \\&-\left[{\frac {\alpha e}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}+\delta \mu {\frac {\mathrm {B} \varphi }{2}}\right]\cos(\varphi +\varepsilon )-{\frac {\delta \mu \mathrm {C} }{3}}\sin 2(\varphi +\varepsilon )-\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3286e39e4dc99c95a7a2465ad83aa6b6ccaa063c)
d’où il est aisé de conclure que l’aphélie de la planète est immobile, mais que son grand axe et son excentricité sont assujettis à des inéga-