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tion de $\omega$ très petit, égale à ${\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }}\,;$ nous aurons ainsi

$\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz$

$=\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}{\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }},$

l’intégrale étant supposée commencer lorsque $z=\omega$ et finir lorsque $z=\omega +{\frac {1}{(p+q)^{n}}},\ n$ étant plus grand que ${\frac {1}{2}}.$ Or la différence de cette intégrale avec l’intégrale entière prise depuis $z=\omega$ jusqu’à $z={\frac {q}{p+q}}$ est infiniment moindre ; pour le démontrer, j’observe que si l’on nomme, pour abréger, $y$ la quantité $\left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q},$ on aura, lorsque $z=\omega +{\frac {1}{(p+q)^{n}}},\ n$ étant plus grand que ${\frac {1}{2}},$

$y=\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}e^{-{\frac {(p+q)^{3}\omega }{pq-\omega (p^{2}-q^{2})-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}.$

Si l’on donne à $z$ une plus grande valeur, $y$ devient moindre, partant $\int ydz$ depuis $z=\omega +{\frac {1}{(p+q)^{n}}}$ jusqu’à ${\frac {q}{p+q}}$ est moindre que

$\left({\frac {q}{p+q}}-\omega -{\frac {1}{(p+q)^{n}}}\right)e^{-{\frac {(p+q)^{2-n}\omega }{pq-\omega (p^{2}-q^{2})-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}\,;$

or, puisque nous avons supposé ${\frac {\omega }{(p+q)^{n}}}$ infiniment plus grand que ${\frac {1}{p+q}},$ la quantité précédente est infiniment moindre que ${\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }}\,;$ car, en général, $e^{\infty {\frac {1}{n}}}>\infty ^{m},\ m$ et $n$ étant des nombres finis quelconques.

Nous aurons donc

$\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz$

$=\mathrm {K} -\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}{\frac {pq}{(p+q)^{3}\omega }},$

en supposant l’intégrale commencer lorsque $z=0$ et finir lorsque