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Supposons maintenant que l’on propose de déterminer l’erreur que l’on peut commettre en faisant $\mathrm {E} =1,$ lorsque l’on donne à $z$ une très petite valeur $\omega \,;$ voici un moyen fort simple d’y parvenir.

Il faut intégrer d’abord

$\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,$

depuis $z=0$ jusqu’à $z=\omega .$ Pour cela, je suppose que $\mathrm {K}$ soit l’intégrale entière depuis $z=0$ jusqu’à $z={\frac {q}{p+q}}\,;$ cette intégrale est visiblement trop grande pour l’objet que nous nous proposons ; il faut en retrancher l’intégrale

$\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,$

depuis $z=\omega$ jusqu’à $z={\frac {q}{p+q}}\,;$ soit $z=\omega +f,$ et l’on aura

$\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,$

$=\left(1+{\frac {p+q}{p}}\omega \right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}\omega \right)^{q}\int e^{-{\frac {(p+q)^{3}\omega f-\ldots }{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}df.$

J’observe que $\omega$ doit, par ce qui précède, être supposé infiniment plus grand que ${\frac {1}{\sqrt {p+q}}}\,;$ supposons $f$ infiniment moindre que ${\frac {1}{\sqrt {p+q}}},$ afin de pouvoir négliger les termes affectés de $f^{2},f^{3},\ldots$ dans le développement de l’exposant de $e,$ et nous aurons

$\int e^{-{\frac {(p+q)^{2}\omega f}{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}df$

$={\frac {pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}{(p+q)^{3}\omega }}\left(1-e^{-{\frac {(p+q)^{2}\omega f}{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}\right).$

Supposons ensuite $\omega f$ d’un ordre infiniment plus grand que ${\frac {1}{p+q}},$ ce qui est possible ; alors $e^{-{\frac {(p+q)^{3}\omega f}{pq-\omega (pp-qq)-\omega ^{2}(p+q)^{2}}}}$ devient négligeable par rapport à l’unité, et l’intégrale précédente deviendra, par la supposi-