Il faut présentement intégrer ces quantités depuis
et
jusqu’à
et
et l’on aura l’action entière du sphéroïde sur le point
de là il suit que, dans le développement de ces différentielles, on peut négliger les termes dans lesquels cosq se trouve élevé à une puissance impaire ; car, soit
un de ces termes,
étant une fonction quelconque de
et de
il est clair que
sera le même pour deux valeurs de
prises à égale distance de
mais
sera le même avec des signes contraires ; d’où l’on voit que la somme des deux différentielles,
correspondantes, l’une à
et l’autre à
sera nulle, et qu’ainsi l’intégrale entière,
sq, sera zéro, en la prenant depuis
jusqu’à
III.
Si le point
est à la surface du sphéroïde et tombe, par conséquent, sur le point
il est visible que l’action du sphéroïde sur un point quelconque pris dans son intérieur, et infiniment voisin de
est la même que sur
ainsi, les formules de l’article précédent ont également lieu pour ce cas ; mais on peut observer qu’alors, la différence de
et de
étant de l’ordre
on peut, dans les termes multipliés par
substituer
au lieu de
de plus, on a, par l’article II,
![{\displaystyle h=a\left[1+\alpha \varphi (a\cos \theta )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95242db958a45f0e0519640b471399df4249a80f)
et, si l’on intègre depuis
jusqu’à
on a
![{\displaystyle \iint 2hdpdq\sin ^{3}p\sin ^{2}q=\iint hdp\sin ^{3}p(dq-dq\cos 2q)=\Pi \int hdp\sin ^{3}p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd478bab4e7b5841e5107ff8c449cd9515b76c9b)
en désignant par
le rapport de la circonférence au diamètre ; or, en intégrant depuis
jusqu’à
on a
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi }dp\sin ^{3}p={\frac {4}{3}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16348e5e75119085dfeab60f7d77f43b54395a60)
donc
![{\displaystyle \iint 2h\sin ^{3}p\sin ^{2}qdpdq={\frac {4}{3}}h\pi ={\frac {4}{3}}a\pi \left[1+\alpha \varphi (a\cos \theta )\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e31ca1c7e259453748fc474622208272455922d)