on a pareillement
![{\displaystyle \iint \sin pdpdq=2\pi \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a6c83ee8d7ef32ce009bcd94621fc3e22f7d05)
et
![{\displaystyle \qquad \iint 2h\sin ^{3}p\sin q\cos qdpdq=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb22b989b81143532e59cf51cf9151589137330)
donc si l’on fait pour plus de simplicité
on aura, pour l’attraction du sphéroïde sur le point
suivant ![{\displaystyle \mathrm {MC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb3fbb37a715d8d9cf88d8b50312713db5d5e9e)
![{\displaystyle \iint (r'+r)\sin ^{2}p\sin qdpdq}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270c78990674095b545bc4abf15d48f5a2300090)
![{\displaystyle ={\frac {4}{3}}h\pi -{\frac {2}{3}}\pi \alpha \varphi (\cos \theta )+\iint \alpha dpdq\sin p\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/285be40dcf8ef7ea186b42e828c680a1fc386cc2)
je nomme
cette quantité.
On aura ensuite, pour l’action du sphéroïde suivant
perpendiculaire à
![{\displaystyle \iint (r'+r)dpdq\sin ^{2}p\cos q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7ef7ae50e6af7c55a69cd2a1fe5d1535e58850)
![{\displaystyle =\iint {\frac {\alpha dpdq\sin p\cos q}{\sin q}}\left\{\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]-\varphi (\cos \theta )\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf821185e4b7daeabc3abe21a60f742c49c0a57)
je nomme
cette quantité, et j’observe qu’elle peut être mise sous une forme plus simple ; car, en intégrant par parties par rapport à
on a
![{\displaystyle \mathrm {B} =-\cos p\int {\frac {dq\cos q}{\sin q}}\left\{\varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]-\varphi (\cos \theta )\right\}+\mathrm {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f776bae289f26cc29530b6a097b5f44da8c297af)
![{\displaystyle +\iint 4dpdq\sin p\cos ^{2}p\cos q\sin(\theta -q)\varphi '\left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65389d71793a798983ccf02d686960fbd446b62)
en désignant par
la différence de
divisée par
la constante arbitraire
doit être déterminée par la condition que l’intégrale commence lorsque
et cette intégrale doit se terminer lorsque
or on a, dans ces deux cas,
![{\displaystyle \varphi \left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]-\varphi (\cos \theta )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e366404d2f7298b17866f28449cd2023b9a286)
donc
partant,
![{\displaystyle \mathrm {B} =\iint 4dpdq\sin p\cos ^{2}p\cos q\sin(\theta -q)\varphi '\left[\cos \theta +2\sin ^{2}p\sin q\sin(\theta -q)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da0556e037292d42346c0452d4b1a0a2e8b5a15)
or on a
![{\displaystyle 2\cos q\sin(\theta -q)=\sin \theta +\sin(\theta -2q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/346189c0a6e396e894b7923c08f2e3b46284d81a)