trouvée dans l’article III, on aura
![{\displaystyle \iint 2dpdq\sin p\cos ^{2}p\varphi '\left[\cos \theta -\sin ^{2}p\cos \theta +\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42c3bc6a41e8517ce391d2a249c4423a59aef620)
![{\displaystyle -{\frac {4}{3}}\pi \varphi '(\cos \theta )=f\cos \theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd62d40344e3181dc84c5fb4728a051ef45e5344)
soient
![{\displaystyle \cos \theta =x\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33779df6d72adf298d5ab1de12203aecbb17bbee)
et
![{\displaystyle \qquad \varphi (cos\theta )=y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b51e2335ed19e407010410b271bccf172b915626)
on aura
![{\displaystyle \varphi '(\cos \theta )={\frac {dy}{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38905e43df47314b6fd4289b7a6a17af925d6157)
de plus, on a, par la théorie des suites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&\left[\cos \varphi -\sin ^{2}p\cos \theta +\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)\right]\\=&{\frac {dy}{dx}}-\sin ^{2}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\\&+\sin ^{4}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]^{2}{\frac {d^{3}y}{1.2dx^{3}}}\\&-\sin ^{6}p[\cos \theta -\cos(\theta -2q)]^{3}{\frac {d^{4}y}{1.2.3dx^{4}}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de3ed890d2536098186a43257da5c7242a32d7d)
L’équation précédente deviendra donc
(C)
|
|
|
en observant que
or on a : 1o
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\cos \theta -\cos(\theta -2q)\right]^{r}=&\cos ^{r}\theta -r\cos ^{r-1}\theta \cos(\theta -2q)\\&+{\frac {r(r-1)}{1.2}}\cos ^{r-2}\theta \cos(\theta -2q)^{2}-\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfd11445c57edcc99a7c2fc2f4740a9a296e59a)
2o si l’on fait
![{\displaystyle \cos(\theta -2q)^{i}=\mathrm {A+B} \cos(\theta -2q)+\mathrm {C} \cos 2(\theta -2q)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/072dfbd4d40a1ad047e44238ea6fbad757f331a1)
on a, comme l’on sait,
lorsque
est impair, et
lorsque
est pair ; 3o en intégrant depuis
jusqu’à ![{\displaystyle q=180^{\circ },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f1e0e353841efba307690f4f56007bd637f7dc)