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étant de l’ordre $\alpha ,$ il est clair que la résultante ne différera de la force suivant $\mathrm {MC} ,$ que d’une quantité de l’ordre $\alpha ^{2}\,;$ on peut donc prendre pour la pesanteur la force suivant $\mathrm {MC} \,;$ ainsi nommant $\mathrm {P}$ la pesanteur au point $\mathrm {M} ,$ on aura

$\mathrm {P=A} -\alpha f\sin ^{2}\theta \,;$

donc

${\frac {d\mathrm {P} }{d\theta }}={\frac {d\mathrm {A} }{d\theta }}-2\alpha f\sin \theta \cos \theta ,$

et substituant, au lieu de ${\frac {d\mathrm {A} }{d\theta }},$ sa valeur que donne l’équation (V) de l’article III, on aura

${\frac {d\mathrm {P} }{d\theta }}={\frac {2}{3}}\alpha \pi \sin \theta \varphi '(\cos \theta )-{\frac {\alpha \mathrm {B} }{2}}-2\alpha f\sin \theta \cos \theta \,;$

si l’on substitue, au lieu de ${\frac {\mathrm {B} }{2}},$ sa valeur que donne l’équation (Z) de l’équilibre, trouvée dans l’article précédent, on aura

$d\mathrm {P} =-{\frac {5}{2}}\alpha fd\theta \sin \theta \cos \theta \,;$

donc, en intégrant,

$\mathrm {P=C} +{\frac {5}{4}}\alpha f\cos ^{2}\theta .$

Soit $\mathrm {P} '$ la pesanteur à l’équateur, c’est-à-dire lorsque $\cos \theta =0,$ et $\alpha m,$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, on aura

$\alpha f=\alpha m\mathrm {P} '\qquad$et$\qquad \mathrm {P'=C} \,;$

donc

$\mathrm {P=P'} \left(1+{\frac {5}{4}}\alpha m\cos ^{2}\theta \right)\,;$

cette équation donne la loi de la variation de la pesanteur de l’équateur aux pôles, et il en résulte que cette variation est proportionnelle au carré du sinus de la latitude.

VI.

Reprenons maintenant l’équation (Z) de l’article IV, en y substituant, au lieu de $\mathrm {B} ,$ sa valeur

$\iint 2dpdq\sin p\cos ^{2}p\sin \theta \varphi '\left[\cos \theta -\sin ^{2}p\cos \theta +\sin ^{2}p\cos(\theta -2q)\right],$