l’équation (D) deviendra donc
![{\displaystyle (\mathrm {E} )\left\{{\begin{aligned}&-{\frac {fx}{2\pi }}={\frac {2^{2}}{3.5}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}x-{\frac {2^{3}}{3.5.7}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)+\ldots \\&\pm 2^{n}{\frac {d^{n}y}{1.3.5\ldots (2n+1)dx^{n}}}\\&\times \left\{{\begin{aligned}&x^{n-1}+{\frac {(n-1)(n-2)}{2^{2}}}x^{n-3}\\&+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{2^{2}.4^{2}}}x^{n-5}\\&+{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}x^{n-7}+\ldots \end{aligned}}\right\},\\&\mp \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb99e9260d7856d87a9b594302f5d54cda69b315)
Telle est l’équation infinie qu’il faut résoudre pour avoir la valeur de ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)
VII.
Il est évident que l’équation
en est une intégrale particulière, ce qui donne une ellipse pour la courbe du méridien ; on aura, dans ce cas,
l’équation (E) donne, en y substituant au lieu de
cette valeur,
de plus, il est visible, à l’inspection de la figure, que
est zéro, lorsque
et lorsque
ce qui donne
et
d’où l’on tire
et
partant,
![{\displaystyle y={\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\left(1-x^{2}\right)={\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\sin ^{2}\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3efa3390c9ff3284a0b9b8a2720ea630e237c17f)
donc le rayon
du sphéroïde est égal à
![{\displaystyle 1+\alpha {\frac {15}{16}}{\frac {f}{\pi }}\sin ^{2}\theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a713691b056617eb770c58e9d71b9d99791991)
Je suppose qu’à l’équateur la force centrifuge soit à la pesanteur comme
on pourra, en regardant le sphéroïde comme une sphère, supposer la pesanteur égale à la masse divisée par le carré du rayon
ce qui donne
pour l’expression de cette force ; on a donc
partant,
Il suit de là que le rayon de l’équateur