est égal à
et, par conséquent, que l’aplatissement de la masse est égal à
ce que l’on sait d’ailleurs.
VIII.
Je suppose dans l’équation (E) de l’article VI
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2c+{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6201f3e47cd04952ad31aaa77420bff5a9b01f8)
elle donnera
![{\displaystyle -{\frac {f}{2\pi }}x={\frac {2^{3}}{3.5}}cx+{\frac {2^{2}}{3.5}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}x-{\frac {2^{3}}{3.5.7}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e1c126c485fc943e32543eb0c3df0c3b61a74f)
en faisant
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {2^{2}}{3.5}}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}x-{\frac {2^{3}}{3.5.7}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\left(x^{2}+{\frac {1}{2}}\right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e29d73b29db40c799ffb50daf5101cb2f4a5083)
Soit
l’intégrale de cette équation ; on aura
![{\displaystyle y=\varphi (x)+cx^{2}+bx+a\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06f5b878895605d87fcd4fa6217cf0d9b6bedf7)
la supposition de
donne
on voit ainsi que le mouvement de rotation du corps ne fait qu’ajouter à la valeur de
la quantité
ainsi, toutes les figures de révolution dans lesquelles l’équilibre a lieu lorsque la masse est immobile ont également lieu lorsqu’elle tourne autour de son axe de révolution, pourvu qu’on ajoute à l’expression de
mais, lorsque
existe-t-il d’autre cas d’équilibre que la figure sphérique ? Il paraît difficile de prononcer sur cet objet ; voici cependant un théorème fort général qui exclut un grand nombre de figures.
Théorème. – L’expression de
ne peut avoir cette forme
![{\displaystyle y={\frac {ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+a''x^{\mu ''}+\ldots }{bx^{r}+b'x^{r'}+b''x^{r''}+\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b5dfee01137189bbbb8ec75cb72615c8c96458)
étant des nombres quelconques réels.