Démonstration. – Je suppose d’abord que le dénominateur de cette expression se réduise à l’unité et que l’on ait
![{\displaystyle y=ax^{\mu }+a'x^{\mu '}+a''x^{\mu ''}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da276aaa31f9029452d6bd8719d2432901b4ba2f)
soit
le plus grand des exposants
en substituant dans l’équation (D) de l’article VI, au lieu de
l’expression précédente, et supposant
le terme
en donnera un de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mu ax^{\mu -1}\int dp\sin p\cos ^{2}p&\left[(\mu -1)\sin ^{2}p-{\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{1.2}}\sin ^{4}p\right.\\&\left.+{\frac {(\mu -1)(\mu -2)(\mu -3)}{1.2.3}}\sin ^{6}p-\ldots \right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/745e16c2902fd9f0f121f5e5361f1fb1e93e802f)
et comme ce terme est le plus élevé par rapport à
il doit être séparément égal à zéro, ce qui donne
![{\displaystyle 0=\mu \int dp\sin p\cos ^{2}p\left[(\mu -1)\sin ^{2}p-{\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{1.2}}\sin ^{4}p+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f77cfe09c5a5534e094f177308d4d759138b407)
or on a
![{\displaystyle (\mu -1)\sin ^{2}p-{\frac {(\mu -1)(\mu -2)}{1.2}}\sin ^{4}p+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c4fd59d2484a4e3f78302b12636cd5029e4d7b)
![{\displaystyle =1-\left(1-\sin ^{2}p\right)^{\mu -1}=1-\cos ^{2\mu -2}p\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ef2bb3007964df50a21a7af0ec3cc12da69f4)
donc
![{\displaystyle 0=\mu \int dp\sin p\cos ^{2}p-\mu \int dp\sin p\cos ^{2\mu }p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef5821abf10afc23f0ff9b1bf12a27da7170a6f4)
d’où l’on tire, en intégrant.
![{\displaystyle 0=\mu \left(\mathrm {C} +{\frac {1}{2\mu +1}}\cos ^{2\mu +1}p-{\frac {1}{2}}\cos ^{3}p\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a87e3bd1bd5f8398105b77a30ff69a72e864160d)
Il faut déterminer la constante arbitraire
de manière que l’intégrale soit nulle lorsque
et faire ensuite
l’équation précédente devient ainsi
(T)
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l’équation (T) donne d’abord
il peut ensuite arriver trois cas :
1o La valeur de
peut être telle que l’on ait