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Or, $\mathrm {K}$ étant nécessairement positif, cette équation est visiblement impossible, à moins qu’on ne suppose ${\frac {1}{l}}=0,\ {\frac {1}{l'}}=0$ et ${\frac {1}{l''}}=0,$ ce qui donne $m=0.$ Il n’y a donc qu’une seule racine de $x$ qui satisfasse aux conditions prescrites ci-dessus.

La difficulté de tirer de l’équation $(\omega )$ la valeur de $x$ rend fort pénible l’usage de la méthode précédente ; mais on peut l’employer dans des circonstances délicates, où il s’agit d’avoir avec précision le milieu que l’on doit prendre entre plusieurs observations ; et, quoique dans le problème précédent nous n’en ayons considéré que trois, il est visible que la solution est entièrement la même pour un nombre quelconque.

Pour donner un exemple de la méthode précédente et de la manière d’en faire usage, supposons (fig. 1) que les observations $b$ et $c$ coïncident, en sorte que $q=0\,;$ cela posé, si l’on fait $x=pz,$ l’équation $(\omega )$ donne

${\frac {2}{3(3-z)^{5}}}-{\frac {1}{3(4-z)^{5}}}={\frac {1{,}3229}{3.2^{5}}},$

et, si l’on fait ${\frac {3-z}{2}}=\mu ,$ on aura

$\mu ={\sqrt[{5}]{\frac {2}{1{,}3229+{\cfrac {1}{\left({\frac {1}{2}}+\mu \right)^{5}}}}}}.$

Si dans une première approximation on néglige le terme ${\frac {1}{\left({\frac {1}{2}}+\mu \right)^{5}}},$ on aura une première valeur de $\mu$ qui, substituée dans l’équation, donnera une seconde valeur de $\mu$ plus approchée, et ainsi de suite. De cette manière, j’ai trouvé $\mu =1{,}0697,$ ce qui donne $z=0{,}860\,;$ partant, $x=0{,}860p.$ Tel est, conséquemment, le milieu que l’on doit prendre entre trois observations, dont deux coïncident ; par exemple, si la première donne l’instant du phénomène à $m^{\mathrm {h} }30^{\mathrm {m} }0^{\mathrm {s} },$ et les deux autres à $m^{\mathrm {h} }30^{\mathrm {m} }10^{\mathrm {s} },$ on doit supposer le véritable instant du phénomène à $m^{\mathrm {h} }30^{\mathrm {m} }8^{\mathrm {s} }{,}6\,;$ suivant la méthode usitée par les astronomes, on le supposerait à $m^{\mathrm {h} }30^{\mathrm {m} }6^{\mathrm {s} }{\frac {2}{3}}.$ On voit donc que la méthode précédente rapproche plus l’instant du phénomène des deux observations qui coïnci-