trouver, et particulièrement sur les dés que l’on nomme dés anglais ; examinons présentement les changements que ces inégalités doivent apporter dans la solution des Problèmes sur le jeu des dés.
et
jouent ensemble, à cette condition que si
amène dans un nombre
de coups une face donnée d’un dé,
lui donnera la somme
on demande ce que
doit donner à
Par la théorie des hasards, on trouve que l’espérance de
est
et c’est la somme qu’il doit donner à
cette solution suppose toutes les faces du dé parfaitement égales, ce qui n’est vrai que mathématiquement parlant.
Soient
la probabilité qu’une des faces du dé (on ignore laquelle) a pour être amenée au premier coup ;
celles que les autres ont pour être amenées pareillement au premier coup ; on aura
![{\displaystyle {\frac {1+\varpi }{6}}+{\frac {1+\varpi '}{6}}+\ldots +{\frac {1+\varpi ^{\mathrm {v} }}{6}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90aeb107ac0a3bbf318d46f042930f18d2a2fca0)
partant
![{\displaystyle \varpi +\varpi '+\varpi ''+\ldots +\varpi ^{\mathrm {v} }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca78526df3f50963554a5b067b49394a1ac2eac)
Or, si l’on suppose que la face donnée du dé ait la probabilité
pour être amenée dans un seul coup, la probabilité qu’elle n’arrivera pas dans un nombre
de coups sera
![{\displaystyle {\frac {\left(5+\varpi '+\varpi ''+\ldots +\varpi ^{\mathrm {v} }\right)^{n}}{6^{n}}}={\frac {(5-\varpi )^{n}}{6^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf236ad21f666c809c336ae6f9e4c36cb3072a1)
l’espérance de
est donc alors
![{\displaystyle a\left[1-{\frac {(5-\varpi )^{n}}{6^{n}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecaa4407118b56c75f9ea76a32c912cc132405e1)
Pareillement, si la probabilité qu’a la face donnée pour être amenée au premier coup est
on aura, pour l’espérance de
,
![{\displaystyle a\left[1-{\frac {(5-\varpi ')^{n}}{6^{n}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd1d533ce6ff8e3839d3b0298ad6942c5e291b6)