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or la plus grande valeur que puisse avoir $\varpi$ dans ce cas est ${\frac {1}{q}}.$ On aura donc, pour l’intégrale complète qui convient à $\varpi$ négatif,

$\left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right){\frac {1}{q}}-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a\left({\frac {1}{3q^{3}}}-{\frac {1}{2}}\varpi '{\frac {1}{q^{2}}}+\varpi '^{2}{\frac {1}{q}}\right).$

Si l’on ajoute cette intégrale à la précédente, il est visible que leur somme exprimera la somme de toutes les espérances de $\mathrm {A} ,$ qui conviennent à cette valeur de $\varpi ',$ et conséquemment à toutes les variations de $\varpi ',$ depuis $-{\frac {1}{q}}$ jusqu’à ${\frac {1}{q}}-\varpi '\,;$ cette somme sera

$\left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\left({\frac {2}{q}}-\varpi '\right)-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a$

$\times \left[{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{3}+{\frac {1}{3q^{3}}}+{\frac {\varpi '^{2}}{2}}\left({\frac {2}{q}}-\varpi '\right)\right].$

Si l’on multiplie cette quantité par $d\varpi ',$ et que l’on intègre, on aura

$\left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right)\left({\frac {2}{q}}\varpi '-\varpi '^{2}\right)-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-1}}{3^{n+1}}}a$

$\times \left[{\frac {1}{12q^{4}}}-{\frac {1}{12}}\left({\frac {1}{q}}-\varpi '\right)^{4}+{\frac {\varpi '^{3}}{3q}}-{\frac {1}{8}}\varpi '^{4}+{\frac {\varpi '}{3q^{3}}}\right]+\mathrm {C} ,$

et, faisant commencer l’intégrale au point où $\varpi '=0,$ et la supposant finir lorsque $\varpi '={\frac {1}{q}},$ cette intégrale devient

$\left(a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a\right){\frac {3}{2qq}}-{\frac {n(n-1)}{1.2}}a{\frac {5.2^{n-4}}{3^{n+1}q^{4}}}\,;$

cette quantité exprime la somme totale des espérances de $\mathrm {A} ,$ qui conviennent à toutes les variations possibles de $\varpi '$ positif ; et, pour avoir l’espérance qui en résulte pour $\mathrm {A} ,$ il est visible qu’il faut diviser cette somme par le nombre total des variations qui conviennent à $\varpi '$ positif. Or le nombre de toutes les variations qui conviennent à $\varpi '$ est, par ce qui précède, ${\frac {2}{q}}-\varpi '\,;$ multipliant par $d\varpi '$ et intégrant, on trouve ${\frac {3}{2qq}}$ pour le diviseur de la quantité précédente. Ainsi l’espérance de $\mathrm {A} ,$ qui convient à $\varpi '$ positif, est

$a-{\frac {2^{n}}{3^{n}}}a-{\frac {n(n-1)}{1.2}}{\frac {2^{n-3}}{3^{n+2}}}{\frac {5a}{q^{2}}}.$

Or l’espérance qui convient à $\varpi '$ négatif est visiblement la même ; de