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babilité que croix n’arrivera point au premier coup, et de celle qu’il n’arrivera point au second, multipliées l’une par l’autre. Or, dans ce cas, la probabilité de $\mathrm {B}$ par la théorie ordinaire est ${\frac {1}{4}},$ au lieu que, pour peu que l’on suppose croix et pile inégalement possibles, cette probabilité est plus grande que ${\frac {1}{4}}.$

Cette aberration de la théorie ordinaire, qui n’a encore été observée par personne, que je sache, m’a paru digne de l’attention des géomètres, et il me semble que l’on ne peut trop y avoir égard, lorsqu’on applique le Calcul des probabilités aux différents objets de la vie civile.

VII.

Quoique les théorèmes suivants n’aient aucun rapport avec la matière précédente, cependant à cause de l’utilité dont ils peuvent être dans l’Analyse, j’ai cru pouvoir les communiquer ici aux géomètres.

Sur les solutions particulières des équations différentielles.

On sait que les équations difTérentielles ont des solutions particulières qui ne sont point comprises dans l’intégrale générale, de quelque manière que l’on détermine les constantes arbitraires ; je les nomme, pour cette raison, solutions particulières. Il est donc nécessaire d’avoir une méthode pour trouver toutes ces solutions ; or voici, pour y parvenir, un théorème général :

Théorème. – Soit l’équation différentielle $dy=pdx,\ p$ étant fonction de $x$ et de $y\,;$ toute solution particulière de cette équation différentielle est un facteur commun aux deux quantités

$p+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial x\partial y}}{\cfrac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}}\quad$et$\quad {\frac {1}{\cfrac {\partial p}{\partial y}}},$

et réciproquement, tout facteur commun à ces deux quantités, égalé à