qu’occupe dans la suite, ou, ce qui revient au même, l’indice de la série ; les quantités sont des fonctions quelconques de la variable dont la différence est supposée constante et égale à l’unité. La caractéristique sert à exprimer la différence finie de la quantité devant laquelle elle est placée, comme dans l’Analyse infinitésimale la lettre exprime la différence infiniment petite des quantités. Cela posé, l’équation précédente est une équation aux différences finies, qui peut généralement représenter les équations de ce genre, où la variable et ses différences sont sous une forme linéaire.
Quoique j’aie supposé la différence constante de égale à l’unité, cela ne diminue en rien la généralité de l’équation précédente (A) ; car, si cette différence, au lieu d’être est égale à on fera et étant fonction de deviendra fonction de je nomme cette dernière fonction. Or on a, par hypothèse,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y_{x}=y_{x+q}-y_{x}=&f(x+q)-f(x)\\=&f\left[q(x'+1)\right]-f(qx')=y_{x'+1}-y_{x'}=\Delta y_{x'},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4e0441254cb9f641a67736fc628ce2302dd0d7a)
la différence constante de étant Pareillement,
et ainsi du reste. L’équation (A) sera donc transformée dans la suivante
dans laquelle la différence de est égale à l’unité.
On peut former aisément d’autres équations différentielles, dans lesquelles et ses différences entreraient d’une manière quelconque ; mais celles qui sont comprises dans l’équation (A) sont les seules qu’il soit véritablement intéressant de considérer.
Avant que de rechercher à les intégrer, je vais rappeler ici un principe fort utile dans l’analyse des différences infiniment petites, et qui s’applique également et avec le même avantage aux différences finies ; voici en quoi il consiste :
Toute fonction de qui, renfermant constantes arbitraires irréduc-
