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connaîtra $^{1}\!u_{x},^{2}\!u_{x},\ldots$ jusqu’à $^{n-1}\!u_{x}$ exclusivement. Pour déterminer $^{n-1}\!u_{x},$ il faut intégrer l’équation

$^{n-2}\!\mathrm {T} _{x}=\mathrm {S} _{x}\,^{n-2}\mathrm {T} _{x-1}+\mathrm {X} _{x},$

en supposant $\mathrm {X} _{x}=0,$ ce qui serait facile par le Problème I si l’on connaissait $\mathrm {S} _{x}.$ Pour le trouver, j’observe que, dans l’équation (D’), le coefficient de $\mathrm {T} _{x-1}$ est

$\mathrm {H} _{x}-\delta _{x}=\mathrm {H} _{x}-{\frac {u_{x}}{u_{x-1}}},$

à cause de

$\delta _{x}={\frac {u_{x}}{u_{x-1}}}.$

Pareillement celui de $^{1}\!\mathrm {T} _{x-1},$ dans l’équation (D"), est

$\mathrm {H} _{x}-{\frac {u_{x}}{u_{x-1}}}-{\frac {{\overset {1}{u}}_{x}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},$

et ainsi de suite ; partant,

$\mathrm {S} _{x}=\mathrm {H} _{x}-{\frac {u_{x}}{u_{x-1}}}-{\frac {{\overset {1}{u}}_{x}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}}-\ldots -{\frac {{\overset {n-2}{u}}_{x}}{{\overset {n-2}{u}}_{x-1}}}.$

Si, au lieu de connaître l’intégrale de l’équation

$y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n},$

on connaissait un nombre $n$ ou $n-1$ de valeurs pour $\alpha _{x},$ dans l’équation (E), les formules précédentes serviraient également, car, $\delta _{x},^{1}\!\delta _{x},\ldots$ étant ces valeurs, on a

$u_{x}=\nabla \delta _{x},\qquad ^{1}\!u_{x}=\nabla ^{1}\!\delta _{x},\qquad \ldots .$

VII.

La formule (O) n’a point encore tout le degré de simplicité que peut avoir l’intégrale complète de $y_{x},$ car on a vu (Art. IV) que cette intégrale a la forme suivante

$y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}+\mathrm {L} _{x}\,;$