en
celle de
en
etc., on aura
![{\displaystyle (\mathrm {K} )\quad y_{x}=u_{x}\left\{\mathrm {A} +\sum {\frac {{\overset {1}{u}}_{x+1}}{u_{x+1}}}\left\langle ^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {{\overset {2}{u}}_{x+2}}{{\overset {1}{u}}_{x+2}}}\right.\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde782a4076635dc00f0d49bce58632b4978190e)
![{\displaystyle \times \left.\left.\left[^{2}\!\mathrm {A} \ldots +\sum {\frac {{\overset {n-1}{u}}_{x+n-1}}{{\overset {n-2}{u}}_{x+n-1}}}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+n}}}\right)\ldots \right]\right\rangle \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2b2a69c44e6b3f0eb4e68834196ff3129ceed3)
Il faut présentement déterminer
or on a, par l’Article précédent,
![{\displaystyle {\overset {1}{u}}_{x}=\mathrm {R} _{x}=u_{x}\Delta {\frac {{\overset {1}{u}}_{x-1}}{u_{x-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cf5bc08566e3f959a829a5b68ba3f0af3a7b57)
pareillement
![{\displaystyle {\begin{aligned}^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {{\overset {2}{u}}_{x-1}}{u_{x-1}}},\\^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x}=&u_{x}\Delta {\frac {{\overset {3}{u}}_{x-1}}{u_{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9d801d45606955d0e97232173950db8591722c)
on aura de même
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\^{1}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{2}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\^{2}\!{\overset {2}{u}}_{x}=&{\overset {1}{u}}_{x}\Delta {\frac {^{3}\!{\overset {1}{u}}_{x-1}}{{\overset {1}{u}}_{x-1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607ce81578268b8c8ac0b9c6d430efa4420736f2)
la formule (K) deviendra
![{\displaystyle (\mathrm {O} )\quad y_{x}=u_{x}\left\{\mathrm {A} +\sum \Delta {\frac {{\overset {1}{u}}_{x}}{u_{x}}}\left\langle ^{1}\!\mathrm {A} +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {1}{u}}_{x+1}}{{\overset {1}{u}}_{x+1}}}\right.\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45ece207b86331b6fce2843301f0f769df54cde)
![{\displaystyle \times \left.\left.\left[^{2}\!\mathrm {A} \ldots +\sum \Delta {\frac {^{1}\!{\overset {n-2}{u}}_{x+n-2}}{{\overset {n-2}{u}}_{x+n-2}}}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+n}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+n}}}\right)\ldots \right]\right\rangle \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18e2375f636e343130890ae6c1f437955f84772)
si l’on ne connaissait que le nombre
d’intégrales particulières de
dans l’équation
![{\displaystyle y_{x}=\mathrm {H} _{x}y_{x-1}+^{1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-2}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {H} _{x}y_{x-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d549d2b5767e9d963abd9ddf76f2e5ba740c6f8a)
l’intégration n’aurait pas plus de difficulté ; je suppose que ce soit l’intégrale
qui soit inconnue ; puisque l’on connaît
on