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aux deux équations

${\begin{aligned}^{n-1}\!\mathrm {A} =&\gamma _{x}\gamma _{x}\quad +^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}\quad +\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1},\\^{n-1}\!\mathrm {A} =&\left(\gamma _{x}\right)\gamma _{x}+\left(^{1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-1}+\ldots +\left(^{n-1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-n+1},\end{aligned}}$

dans lesquelles la constante $^{n-1}\!\mathrm {A}$ est visiblement la même, puisque j’ai supposé, pour former l’une et l’autre équation, que la valeur complète de $y_{x}$ est

$y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}.$

On aura donc, en comparant ces deux équations,

$\gamma _{x}\gamma _{x}+^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1}$

$=\left(\gamma _{x}\right)\gamma _{x}+\left(^{1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-1}+\ldots +\left(^{n-1}\!\gamma _{x}\right)\gamma _{x-n+1},$

équation qui doit être identique ; car, si elle ne l’était pas, cette équation étant différentielle de l’ordre $n-1$ aurait cependant pour intégrale complète

$y_{x}=\mathrm {A} u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} .^{n-1}\!u_{x},$

équation qui renferme $n$ constantes arbitraires, ce qui serait absurde (Art. II).

On a donc

$^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{\left({\overset {n-1}{u}}_{x+1}\right)}}=^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{{\overset {n-1}{u}}_{x+1}}},$

partant

$\left({\overset {n-1}{u}}_{x+1}\right)={\overset {n-1}{u}}_{x+1}.$

Ainsi l’expression de ${\overset {n-1}{u}}_{x}$ reste toujours la même, soit qu’on y change $u_{x}$ en $^{1}\!u_{x},$ et $^{1}\!u_{x},$ en $u_{x}\,;$ on s’assurera de la même manière que si dans ${\overset {n-1}{u}}_{x}$ on change $u_{x}$ en $^{2}\!u_{x},$ et $^{2}\!u_{x}$ en $u_{x}\,;$ ou $^{1}\!u_{x}$ en $^{2}\!u_{x},$ et $^{2}\!u_{x}$ en $^{1}\!u_{x},$ et généralement $^{k}\!u_{x}$ en $^{i}\!u_{x},$ et $^{i}\!u_{x}$ en $^{k}\!u_{x},\ k$ et $i$ étant moindres que $n-1,$ l’expression ${\overset {n-1}{u}}_{x}$ restera toujours la même, et qu’ainsi, quelque ordre que l’on donne aux quantités $u_{x},^{1}\!u_{x},^{2}\!u_{x},\ldots$ pour former ${\overset {n-1}{u}}_{x},$ cette expression restera toujours la même, pourvu que $^{n-1}\!u_{x}$ soit considérée comme la dernière de ces quantités.

Je fais ${\overset {n-1}{u}}_{x+1}=^{n-1}\!z_{x+1}\,;$ ensuite, au lieu de considérer $^{n-1}\!u_{x}$ comme