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la dernière des quantités $u_{x},^{1}\!u_{x},\ldots ,$ je suppose actuellement que $^{n-2}\!u_{x}$ soit cette dernière ; soit $^{n-2}\!z_{x+1}$ ce que devient alors $^{n-1}\!z_{x+1},$ c’est à-dire lorsqu’on y change $^{n-2}\!u_{x}$ en $^{n-1}\!u_{x},$ et $^{n-1}\!u_{x}$ en $^{n-2}\!u_{x}.$ On aura, par un procédé semblable au précédent,

^{n-2}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-2}\!z_{x+1}}}={\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x}+^{1}\!{\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x-1}+\ldots +^{n-1}\!{\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x-n+1},

${\underline {\gamma }}_{x},^{1}\!{\underline {\gamma }}_{x},\ldots$ étant ce que deviennent $\gamma _{x},^{1}\!\gamma _{x},\ldots$ lorsqu’on y change $^{n-1}\!u_{x}$ en $^{n-2}\!u_{x},$ et $^{n-2}\!u_{x}$ en $^{n-1}\!u_{x}\,;$ on aura pareillement

^{n-3}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-3}\!z_{x+1}}}={\underline {\underline {\gamma }}}_{x}\gamma _{x}+^{1}\!{\underline {\underline {\gamma }}}_{x}\gamma _{x-1}+\ldots +^{n-1}\!{\underline {\underline {\gamma }}}_{x}\gamma _{x-n+1},

$^{n-3}\!z_{x+1},{\underline {\underline {\gamma }}}_{x},^{1}\!{\underline {\underline {\gamma }}}_{x},\ldots$ étant ce que deviennent $^{n-1}\!z_{x+1},\gamma _{x},^{1}\!\gamma _{x},\ldots$ lorsqu’on y change $^{n-1}\!u_{x}$ en $^{n-3}\!u_{x},$ et $^{n-3}\!u_{x}$ en $^{n-1}\!u_{x}.$ Cela posé, en disposant dans l’ordre suivant toutes les équations que l’on peut former ainsi

(>)\quad \left\{{\begin{aligned}^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}=&\gamma _{x}\gamma _{x}+^{1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-1}+^{2}\!\gamma _{x}\gamma _{x-2}\\&\quad \qquad \qquad \qquad +\ldots +^{n-1}\!\gamma _{x}\gamma _{x-n+1},\\^{n-2}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-2}\!z_{x+1}}}=&{\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x}+^{1}\!{\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x-1}+^{2}\!{\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x-2}\\&\quad \qquad \qquad \qquad +\ldots +^{n-1}\!{\underline {\gamma }}_{x}\gamma _{x-n+1},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{z_{x+1}}}\quad =&{\frac {\gamma _{x}}{n-1}}\gamma _{x}+{\frac {^{1}\!\gamma _{x}}{n-1}}\gamma _{x-1}+{\frac {^{2}\!\gamma _{x}}{n-1}}\gamma _{x-2}\\&\quad \qquad \qquad +\ldots +{\frac {^{n-1}\!\gamma _{x}}{n-1}}\gamma _{x-n+1},\end{aligned}}\right.

et les ajoutant ensemble, après avoir multiplié la première par $^{n-1}\!u_{x},$ la seconde par $^{n-2}\!u_{x},$ etc., enfin la dernière par $u_{x},$ on aura une équation de cette forme

{\begin{aligned}\lambda _{x}y_{x}+\ldots +^{n-1}\!\lambda _{x}y_{x-n+1}=&u_{x}\left(\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{z_{x+1}}}\right)\\+&^{1}\!u_{x}\left(^{1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{1}\!z_{x+1}}}\right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&^{n-1}\!u_{x}\left(^{n-1}\!\mathrm {A} +\sum {\frac {\mathrm {X} _{x+1}}{^{n-1}\!z_{x+1}}}\right),\end{aligned}}

ce qui donne, en faisant $\mathrm {X} _{x+1}=0,$

\lambda _{x}y_{x}+^{1}\!\lambda _{x}y_{x-1}+\ldots +^{n-1}\!\lambda _{x}y_{x-n+1}=\mathrm {A} u_{x}+^{1}\!\mathrm {A} \,^{1}\!u_{x}+\ldots +^{n-1}\!\mathrm {A} \,^{n-1}\!u_{x}\,;