Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/128

ment situés sur le même rayon $\mathrm {CN} .$ Il est facile de conclure pareillement de l’équation (14) que la valeur de $v$ est la même pour tous ces points ; enfin l’équation (1) donne, en l’intégrant et en considérant que la profondeur du fluide est toujours fort petite,

$r=-\sigma \left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v}{\partial \varpi }}+u\cos \theta \sin \theta \right)+qu{\frac {\partial \lambda }{\partial \theta }},$

$\sigma$ étant la distance primitive du point du fluide que l’on considère à la surface du sphéroïde ; la détermination du mouvement de tous les points du fluide se trouve ainsi réduite à l’intégration des équations (16) et (17) ; or la loi du mouvement de l’astre étant supposée connue, on aura $h,\nu$ et $\varphi$ en fonctions du temps $t\,;$ ainsi on pourra intégrer ces équations par les méthodes connues.

IX.

Nous avons supposé dans les articles précédents, la densité $\Delta$ du fluide égale à zéro, et cela nous était nécessaire pour connaître la figure qu’il peut prendre ; supposons maintenant $\Delta$ quelconque ; pour intégrer dans cette supposition les équations (12) et (13) de l’article VII, il est nécessaire de connaître $\mathrm {B} \Delta$ et $\mathrm {C} \Delta \,;$ nous avons vu (art. V) que $\alpha \mathrm {B} \Delta$ est l’attraction horizontale dans le sens du méridien d’un sphéroïde dont la densité est $\Delta ,$ et le rayon $1+s\alpha y,$ et que $\alpha \mathrm {C} \Delta$ est l’attraction horizontale du même sphéroïde dans le sens du parallèle ; or j’ai fait voir ci-dessus (voir les recherches précédentes Sur la loi de la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes)^[1] que l’on a

$\alpha \mathrm {B} \Delta =-\alpha \Delta \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }\sin p{\frac {\cos q}{\sin q}}y'dpdq$

et

$\alpha \mathrm {C} \Delta =\alpha \Delta \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos p}{\sin q}}y'dpdq,$

où l’on doit observer : 1^o que $y$ est pareille fonction de $\theta '$ et de $\varpi ',$

1. Page 78.