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les cas d’intégration, réunit le double avantage de donner les intégrales complètes, lorsqu’elles sont possibles, ou de s’assurer qu’elles sont impossibles ; j’espère d’ailleurs qu’elle ne laissera rien à désirer du côté de la simplicité et de la facilité de la mettre en usage.

II.

$z$ étant fonction quelconque de plusieurs variables $x,y,\ldots ,$ je suppose qu’on la différentie, en ne faisant varier que $x,$ et que l’on désigne par ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ le coefficient de $dx$ dans cette différence (il ne faut pas confondre cette expression ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ avec celle-ci ${\frac {dz}{dx}}$ qui signifie la différence entière de $z,$ divisée par $dx$) ; que l’on représente encore par ${\frac {\partial z}{\partial y}}$ le coefficient de $dy$ dans la différence de $z\,;$ une équation quelconque entre $z,x,y,{\frac {\partial z}{\partial x}},{\frac {\partial z}{\partial y}}$ est aux différences partielles du premier ordre.

Pareillement, si l’on différentiel : 1^o deux fois de suite par rapport à $x$ et par rapport à $y,$ en regardant $dx$ et $dy$ comme constants, et que l’on désigne par ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}$ et ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}$ les coefficients de $dx^{2}$ et de $dy^{2}$ dans ces différences ; 2^o une première fois par rapport à $x,$ et une seconde fois par rapport à $y,$ ou, ce qui, comme l’on sait, revient au même, une première fois par rapport à $y,$ et une seconde fois par rapport à $x,$ et que l’on désigne par ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}$ le coefficient de $dxdy\,;$ si l’on a une équation quelconque entre $z,x,y,{\frac {\partial z}{\partial x}},{\frac {\partial z}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}$ et ${\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},$ elle sera aux différences partielles du second ordre, et ainsi de suite pour les ordres suivants.

Une semblable équation étant donnée, il s’agit d’en trouver l’intégrale, c’est-à-dire de trouver une fonction finie entre $z,x$ et $y,$ telle qu’elle satisfasse à cette équation de la manière la plus générale ; le problème pris ainsi dans toute son étendue présente des difficultés bien supérieures à celles de l’intégration des équations aux différences ordinaires, en sorte qu’on peut regarder une équation aux différences partielles comme intégrée, lorsqu’elle est ramenée à l’intégration