Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/19

d’une équation aux différences ordinaires, à peu près comme on est censé avoir l’intégrale de celle-ci, lorsqu’elle ne dépend plus que de l’intégration des fonctions différentielles.

Les équations aux différences ordinaires peuvent être considérées comme des cas très particuliers des équations aux différences partielles : il suffit pour cela de rendre nuls, dans ces dernières, les coefficients des différences de $z,$ prises par rapport à $y\,;$ on aura, de cette manière, une équation entre $x,y,z,{\frac {\partial z}{\partial x}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},\ldots ,$ dans laquelle $y$ pourra être considéré comme constant, et si cette équation est de l’ordre $n,$ son intégrale renfermera $n$ constantes arbitraires, qui seront fonctions quelconques de $y.$

De ce que, dans un grand nombre de cas particuliers, l’intégrale complète d’une équation aux différences partielles de l’ordre $n$ renferme $n$ fonctions arbitraires, on a exigé la même condition de l’intégrale complète d’une équation quelconque aux différences partielles ; mais il arrive souvent qu’elle est impossible à remplir, et l’on en verra des exemples dans la suite. Il serait sans doute bien utile d’avoir une méthode pour s’assurer si une équation donnée est susceptible d’une intégrale complète, et dans ce cas de la déterminer ; c’est là ce que je me propose de faire sur les équations aux différences partielles linéaires : j’appelle ainsi les équations dans lesquelles la variable $z$ et ses différences ne sont élevées à d’autres puissances que l’unité, et ne se multiplient ou ne se divisent point les unes par les autres ; j’ai choisi ce genre d’équations, de préférence à tout autre, parce qu’il se rencontre fréquemment dans l’application de l’analyse à la nature, principalement lorsqu’il s’agit de déterminer les oscillations infiniment petites du système d’un nombre infini de corpuscules, qui agissent les uns sur les autres d’une manière quelconque, et dont l’état primitif peut être quelconque^[1].

1. Ces recherches, à quelques additions près, ont été lues à l’Académie dans le courant de l’année 1773, et j’en ai donné, dans le Tome VI des Savants étrangers, quelques résultats, parmi lesquels se trouve l’intégration de l’équation (1) de l’article suivant ( ^✶).
   (*) Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 63 à 65.