d’où l’on tire
![{\displaystyle \sin \nu ={\sqrt {\cos ^{2}z+\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b358a76907aeb914dce81343af9230e3be6966f)
on aura ensuite
![{\displaystyle {\frac {1}{\sin \left(\varepsilon -{\cfrac {s}{\sin z}}\right)}}={\frac {\sin z\sin \varphi }{\cos z\cos \varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939449c3c2dfb2f022b0121cbc9975c559f79aaa)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \varphi =&{\frac {\sin \varepsilon \sin z-s\cos \varepsilon }{\sqrt {\cos ^{2}z+\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z}}},\\\sin \varphi =&{\frac {-\cos z}{\sqrt {\cos ^{2}z+\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504cc0b8e146503be59411153eb3a991f5c5dc1e)
partant,
![{\displaystyle \sin \nu \cos \nu \sin \varphi =-(\cos \varepsilon \sin z+s\sin \varepsilon )\cos z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5886464336dcffdec32b8eec25ebfd840641cac1)
et
![{\displaystyle \sin \nu \cos \nu \cos \varphi =\quad (\sin \varepsilon \sin z-s\cos \varepsilon )(\cos \varepsilon \sin z+s\sin \varepsilon )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10800f6b5dc6d92e282968e1d8b1cc61d95c349b)
on a présentement
![{\displaystyle \alpha \mathrm {K} ={\frac {3\mathrm {S} }{2h^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bfdb8dc0183a67ffbc6e909c815173f0bf5d2ba)
et
![{\displaystyle cos(\varphi -nt-\varpi )=\sin \varphi \sin(nt+\varpi )+\cos \varphi \cos(nt+\varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0708127975cf595190b776d30aeeb009e88a3ea9)
substituant donc, au lieu de
et
leurs valeurs en temps moyen dans la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-rn),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20d907c62d3535f8481b41f5d8057dc0fc896343)
on aura une suite de termes de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {K} '\cos(nt+mt+\varpi +\mathrm {A} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71b86c08ac99cd8fea1fd499aedd38f77d61a3c2)
On substituera la somme de tous ces termes au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a698ceed2b713e53ba7d1717706ea547bcc4228d)
dans l’équation (7), et comme la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin(\varphi -nt-\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f05e76123dac2150ec9f7cceefbbf06636a342)
de l’équation (9) résulte de la différentiation de la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1287b60f1f0e06f20ff97c47c058105bcb4a66)