par rapport à
il est clair que chaque terme tel que
![{\displaystyle \mathrm {K} '\cos(nt+mt+\varpi +\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48047b79c164b398717e261d701067df70300ad)
de l’expression de
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \cos(\varphi -nt-\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d1287b60f1f0e06f20ff97c47c058105bcb4a66)
donnera le terme
![{\displaystyle -\mathrm {K} '\sin(nt+mts+\varpi +\mathrm {A} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94fdc55522f7244c552cd94a1b29b97bc244c8c)
dans l’expression de
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin \nu \cos \nu \sin(\varphi -nt-\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc114a322ce340e55b7d41774b62d47bd391354)
et ce sera la somme de tous ces termes qu’il faudra substituer au lieu de cette quantité dans l’équation (9).
On a pareillement
![{\displaystyle \cos(2\varphi -2nt-2\varpi )=\sin 2\varphi \sin(2nt+2\varpi )+\cos 2\varphi \cos(2nt+2\varpi )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b916431c6c3623f0402ced8505ecdcf33a06af95)
de plus, on a par ce qui précède
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\nu \sin 2\varphi =&-2\cos z(\sin \varepsilon \sin z-s\cos \varepsilon ),\\\sin ^{2}\nu \cos 2\varphi =&\sin ^{2}\varepsilon \sin ^{2}z-\cos ^{2}z-2s\sin \varepsilon \cos \varepsilon \sin z\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4c12db6f3da609397ccb771e51b68005cbe9d98)
on aura donc, au lieu de
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d081e4b5ee3a30c86927aaf2bad46c4e06d86760)
une suite de termes de cette forme
![{\displaystyle \mathrm {K} '\cos(2nt+2mt+2\varpi +2\mathrm {A} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63445d259d5b619948f89a063e22ee4438f3dfd1)
et comme on a
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin(2\varphi -2nt-2\varpi )={\frac {1}{2}}{\frac {\partial .\mathrm {K} \sin ^{2}\nu \cos(2\varphi -2nt-2\varpi )}{\partial \varpi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc67ff37c85314cf14d0080c135d00a12f6a22b2)
le terme
![{\displaystyle \mathrm {K} '\cos(2nt+2mt+2\varpi +2\mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9de2cf3ac365da57d36a762f3b4e6a3d6ff3bd0)
donnera le terme
![{\displaystyle -\mathrm {K} '\sin(2nt+2mt+2\varpi +2\mathrm {A} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20659bcb345c28d42f61420ed02e8ab5747cfa76)
dans la quantité
![{\displaystyle \mathrm {K} \sin ^{2}\nu \sin(2\varphi -2nt-2\varpi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50bec9916add36d22acc116889e4510de474718e)
de l’équation (9).