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que $l\,;$ l’équation (T) deviendra ainsi

(T’)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {4n^{2}}{lg}}ax\left(1-x^{2}\right)=x{\frac {\partial ^{2}a'}{\partial x^{2}}}&\left[1+\left({\frac {q}{l}}-1\right)x^{2}-{\frac {q}{l}}x^{4}\right]\\+&{\frac {\partial a'}{\partial x}}\left(1+{\frac {3q}{l}}x^{2}-{\frac {2q}{l}}x^{4}\right).\end{aligned}}\right.$

Pour y satisfaire, supposons

$a=h+h^{(1)}x^{2}+h^{(2)}x^{4}+h^{(3)}x^{6}+\ldots .$

Nous aurons, par l’article XXIII,

${\frac {e}{g}}={\frac {1}{g}}\left(\sigma +\sigma ^{(1)}x^{2}+\sigma ^{(2)}x^{4}+\sigma ^{(3)}x^{6}+\ldots \right)\,;$

partant,

$a'=h-{\frac {\sigma }{g}}-{\frac {1}{g}}\mathrm {K} '+\left(h^{(1)}-{\frac {\sigma ^{(1)}}{g}}-{\frac {1}{g}}\mathrm {K} ''\right)x^{2}+\left(h^{(2)}-{\frac {\sigma ^{(2)}}{g}}\right)x^{4}+\ldots .$

En substituant ces valeurs de $a$ et de $a'$ dans l’équation (T), et comparant les coefficients des différentes puissances de $x,$ nous aurons une suite d’équations dont la $(r+3)$^ième sera

${\begin{aligned}{\frac {4n^{2}}{lg}}\left(h^{(r+2)}-h^{(r+1)}\right)&=(2r+6)^{2}\left(h^{(r+3)}-{\frac {\sigma ^{(r+3)}}{g}}\right)\\&+(2r+4)\left[{\frac {q}{l}}(2r+6)-(2r+3)\right]\left(h^{(r+2)}-{\frac {\sigma ^{(r+2)}}{g}}\right)\\&+(2r+2)(2r+3){\frac {q}{l}}\left(h^{(r+1)}-{\frac {\sigma ^{(r+1)}}{g}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on suppose que la suite $h+h^{(1)}x^{2}+h^{(2)}x^{4}+\ldots$ se termine après le terme $h^{(r+1)}x^{2r+2},$ on aura, non seulement

$h^{(r+2)}=0,\qquad h^{(r+3)}=0,$

mais encore

$\sigma ^{(r+2)}=0,\qquad \sigma ^{(r+3)}=0,\qquad \ldots .$

De plus, on a par l’article XXIII

${\frac {\sigma ^{(r+1)}}{g}}={\frac {4\pi h^{(r+1)}\Delta }{(4r+5)}}\,;$