Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/22

sorte que l’on ait $u=\theta \,;\ \theta$ étant fonction de $x$ et de $y,$ on aura $y$ en fonction de $x$ et de $u\,;$ cette valeur de $y$ substituée dans $\mathrm {V}$ rendra cette quantité fonction de $x,z$ et $u.$ Soit $\mathrm {V} '$ cette fonction, on aura

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)'+\mathrm {V} ',$

équation dont l’intégrale, en supposant $u$ constant, peut être mise sous cette forme

$\mathrm {S=C} ,$

$\mathrm {S}$ étant fonction de $x,z$ et $u,$ et $\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire qui peut être une fonction quelconque de $u,$ ou, ce qui revient au même, de $\theta \,;$ désignant donc par $\Gamma (\theta )$ une fonction arbitraire de $\theta ,$ l’équation

$\mathrm {S} =\Gamma (\theta )$

est l’intégrale complète de la proposée

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+\mathrm {V} \,;$

l’intégration de cette équation se trouve ainsi réduite à celle de deux équations aux différences ordinaires, puisque la recherche du facteur $\mathrm {N}$ dépend, comme l’on sait, de l’intégration de l’équation

$dy-\alpha dx=0.$

Déterminons, d’après cette méthode, l’intégrale de l’équation linéaire

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} \,;$

pour cela, on intégrera d’abord celle-ci

$0={\frac {\partial u}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial y}}\,;$

soit $u=\varphi (\theta )$ son intégrale ; en faisant $\varphi (\theta )=0,$ on aura $u=\theta \,;$ d’où l’on tirera $y$ en fonction de $x$ et de $u\,;$ en substituant ces valeurs dans