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plus à une fonction arbitraire infiniment petite, que je désigne par $i\Gamma (\theta ),\ i$ étant un coefficient infiniment petit. Si l’on substitue cette valeur de $\varphi (\theta )$ dans $\mathrm {M} ,$ et que l’on réduise cette quantité dans une suite ascendante par rapport à $i,$ on aura une expression de cette forme

$z=\mathrm {N} +i\mathrm {N} '+i^{2}\mathrm {N} ''+\ldots .$

En substituant cette valeur de $z$ dans l’équation

(K)

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} ,$

que je nommerai dorénavant, pour simplifier, l’équation (K), tous les termes homogènes par rapport à $i$ doivent se détruire réciproquement ; on aura donc

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}\ \,+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}\ \,+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial x}}\,+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial y}}\,+{\text{ϐ}}\mathrm {N} ',\\0=&{\frac {\partial \mathrm {N} ''}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} ''}{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N} '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

partant, l’équation

$z=\mathrm {N+N'}$

satisfait à l’équation (K) ; de plus, elle en est l’intégrale complète, puisque $\mathrm {N} '$ enferme la fonction arbitraire $\Gamma (\theta ).$

On aura $i\mathrm {N} '$ en différenciant $\mathrm {M}$ par rapport à $\varphi (\theta ),$ et supposant la différence de $\varphi (\theta )$ égale à $i\Gamma (\theta )\,;$ d’où il est aisé de conclure que la fonction arbitraire $\Gamma (\theta )$ existe dans $\mathrm {N} '$ sous une forme linéaire ; mais elle peut y être affectée des signes différentiel et intégral, en sorte que $\mathrm {N} '$ peut renfermer des termes de cette forme $\mathrm {H} {\frac {d^{n}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n}}},$ et si l’on représente par $\mu ,\mu ',\mu '',\ldots$ des fonctions quelconques de $x$ et de $y,\ \mathrm {N} '$ peut renfermer encore des termes de la forme

$\mathrm {H} \int \mathrm {L} d\mu \int \mathrm {L} 'd\mu '\int \mathrm {L} ''d\mu ''\ldots {\frac {d^{n}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n}}}\,;$