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peut être réduit à des termes de l’une ou l’autre de ces deux formes

$\mathrm {H} \int \mathrm {V} dx\int \mathrm {V} 'dy\int \mathrm {V} ''dx\ldots \Gamma ^{n}(\theta )$

ou

$\mathrm {H} \int \mathrm {V} dy\int \mathrm {V} 'dx\int \mathrm {V} ''dy\ldots \Gamma ^{n}(\theta ).$

Présentement, si l’on fait $\int \mathrm {V} dx=\mathrm {R} ,$ on aura

$\mathrm {H} \int \mathrm {V} dx{\frac {d^{n}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n}}}=\mathrm {HR} \Gamma ^{n}(\theta )-\mathrm {H} \int \mathrm {R} {\frac {\partial \theta }{\partial x}}dx{\frac {d^{n+1}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{n+1}}}\,;$

on peut donc, en suivant ce procédé, augmenter d’une unité l’ordre de la différence de la fonction arbitraire enveloppée sous le signe $\int \,;$ si l’on suppose conséquemment que ${\frac {d^{r}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{r}}}$ soit la plus haute différence de $\Gamma (\theta )$ dans $\mathrm {N} ',$ on pourra réduire toutes les différences de $\Gamma (\theta )$ enveloppées sous le signe intégral à être de l’ordre $r\,;$ partant, si l’on fait

${\frac {d^{r}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{r}}}=\psi (\theta ),\quad {\frac {d^{r-1}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{r-1}}}=\psi _{1}(\theta ),\quad {\frac {d^{r-2}\Gamma (\theta )}{d\theta ^{r-2}}}=\psi _{2}(\theta ),\quad \ldots ,$

l’expression de $z$ sera comprise dans la formule suivante :

(T)

$\left\{{\begin{aligned}z=\mathrm {N} &+\mathrm {H} \psi (\theta )+\mathrm {H} '\psi _{1}(\theta )+\mathrm {H} ''\psi _{2}(\theta )+\ldots \\&+\mathrm {L} \int \mathrm {V} dx\psi (\theta )+\mathrm {L} '\int \mathrm {V} 'dx\psi (\theta )+\ldots \\&+\mathrm {I} \int \mathrm {U} dy\psi (\theta )+\mathrm {I} '\int \mathrm {U} 'dy\psi (\theta )+\ldots \\&+\mathrm {P} \int \mathrm {Q} dx\int \mathrm {Q} 'dy\psi (\theta )+\mathrm {P} '\int \mathrm {Q} ''dx\int \mathrm {Q} '''dy\psi (\theta )+\ldots \\&+\mathrm {R} \int \mathrm {S} dy\int \mathrm {S} 'dx\psi (\theta )+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Second cas. – Lorsque $\theta$ est fonction indéterminée de $x$ et de $y.$

Il peut arriver que, dans l’intégrale d’une équation aux différences partielles, la quantité $\theta ,$ enveloppée sous le signe de la fonction arbitraire, soit elle-même indéterminée ; par exemple, si, dans l’équation