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aux différences partielles ${\frac {\partial z}{\partial x}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},$ on fait ${\frac {\partial z}{\partial y}}=0,$ on aura

$dz={\frac {\partial z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial z}{\partial y}}dy=\theta ^{2}dx+\theta dy\,;$

partant,

$z=\theta ^{2}x+\theta y-\int d\theta (2\theta x+y)\,;$

d’où il suit que $2\theta x+y$ est fonction de $\theta \,;$ soit donc

$\int d\theta (2\theta x+y)=\varphi (\theta ),$

et que l’on fasse ${\frac {d\varphi (\theta )}{d\theta }}=\varphi '(\theta ),$ on aura

$z=\theta ^{2}x+\theta y-\varphi (\theta ),$

et $\theta$ se déterminera par l’équation

$2\theta x+y=\varphi '(\theta ),$

en sorte que cette quantité est elle-même indéterminée ; mais cela ne peut jamais avoir lieu dans l’intégrale d’une équation linéaire aux différences partielles, ou, lorsque cela arrive, il est toujours possible de réduire la quantité enveloppée sous la fonction arbitraire à êtreune fonction déterminée ; car, si, dans l’équation qui sert à déterminer $\theta ,$ l’on suppose à la fonction arbitraire $\varphi (\theta )$ une valeur quelconque déterminée, plus une valeur arbitraire infiniment petite, que je représente par $i\Gamma (\theta ),\ i$ étant infiniment petit, on trouvera $\theta$ égal à une fonction finie et déterminée de $x$ et de $y,$ que j’exprime par $\varpi ,$ plus à une valeur infiniment petite et indéterminée dépendante de $i\Gamma (\theta )\,;$ si l’on substitue présentement, dans l’expression de $z,$ au lieu de $\theta$ et de $\varphi (\theta ),$ ces valeurs, et qu’on la réduise dans une suite ascendante par rapport à $i,$ on aura

$z=\mathrm {N} +i\mathrm {N} '+i^{2}\mathrm {N} ''+\ldots ,$

$\mathrm {N} '$ étant fonction de $x,y$ et de la fonction arbitraire $\Gamma (\varpi )\,;$ cette valeur de $z,$ satisfaisant à l’équation (K), il est clair que tous les termes ho-