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et, comme ces pyramides agissent en sens contraire, il en résulte (art. I) une seule action de $\mathrm {N}$ vers $\mathrm {R}$ égale à

$(r-r')\sin pdpdq.$

Si l’on décompose cette action en trois autres, la première suivant $\mathrm {NK}$ ou parallèlement à $\mathrm {CL} ,$ la seconde suivant $\mathrm {N} c$ et la troisième suivant $\mathrm {NQ}$ ou perpendiculairement au plan $\mathrm {ALB} ,$ on aura pour la première

$(r-r')\sin ^{2}p\mathrm {\frac {\sin ZNI}{\sin KNI}} dpdq\,;$

or on a

$sin\mathrm {ZNI=\sin(KNI} -q),$

partant

$\mathrm {\frac {\sin ZNI}{\sin KNI}} =\cos q-\sin q\mathrm {\frac {\cos KNI}{\sin KNI}} =\cos q-\sin q{\frac {\mathrm {N} v}{cv}}\,;$

mais on a

$cv=s\cos \theta ,\qquad \mathrm {N} v=s\sin \theta \cos \varpi \,;$

donc

${\frac {\mathrm {N} v}{cv}}={\frac {\sin \theta \cos \varpi }{\cos \theta }}\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {\frac {\sin ZNI}{\sin KNI}} ={\frac {\cos \theta \cos q-\sin \theta \cos \varpi \sin q}{\cos \theta }}.$

On aura ainsi pour la force, suivant $\mathrm {NK} ,$

$(r-r')\sin ^{2}p{\frac {\cos \theta \cos q-\sin \theta \cos \varpi \sin q}{\cos \theta }}dpdq.$

Quant aux deux autres forces, il est inutile d’y avoir égard, car : 1^o l’action du sphéroïde entier sur le point $\mathrm {N} ,$ suivant $\mathrm {NQ} ,$ est détruite par l’action du même sphéroïde sur un point $\mathrm {N} '$ semblablement placé que le point $\mathrm {N}$ de l’autre côté du plan $\mathrm {ALB} \,;$ 2^o la résultante des deux actions réunies du sphéroïde sur les points $\mathrm {N}$ et $\mathrm {N} '$ parallèlement à $\mathrm {N} c,$ c’est-à-dire parallèlement à la projection de $\mathrm {NC}$ sur le plan $\mathrm {ALB} ,$ passe par le centre $\mathrm {C}$ et n’influe, par conséquent, en aucune manière sur les mouvements du sphéroïde autour de son centre d’inertie.

L’action entière du sphéroïde sur le point $\mathrm {N}$ parallèlement à $\mathrm {CL}$ est

$\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }(r-r')\sin ^{2}p{\frac {\cos \theta \cos q-\sin \theta \cos \varpi \sin q}{\cos \theta }}dpdq.$