Pour exécuter cette double intégration, il faut connaître
et
en fonctions de
et de
nous observerons pour cela que la distance
du point
au plan
est
et que la distance du plan
ou, ce qui revient au même, du point
au plan
est
partant, la distance
du point
au plan
est
la distance du point
à la droite
est
et sa distance à la droite
est
ce sont aussi les distances du point
aux droites
et
On aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {CR} ^{2}=\left(s\sin \theta \sin \varpi +r\cos p\right)^{2}+\left(s\sin \theta \cos \varpi +r\sin p\cos q\right)^{2}\\&\qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\left(s\cos \theta +r\sin p\sin q\right)^{2}\\&=r^{2}+s^{2}+2sr\left[\sin \theta \sin \varpi \cos p+\sin \theta \cos \varpi \sin p\cos q+\cos \theta \sin p\sin q\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/591131f103b0803e534e6505d18aebcff656728f)
Or on a, en négligeant les quantités de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cec7e4711eca9569982da128a1b5186ae022e7)
![{\displaystyle \mathrm {CR} ^{2}=1+2\alpha \mathrm {K} \mu '\sin \nu \cos \nu \sin \theta '\cos \theta '\cos \varpi '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9087f3c6cfdd4dc4f6a9abb89057d6d32d2c6c7f)
en comparant donc ces deux valeurs de
et faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {M} =\sin \theta \sin \varpi \cos p+\sin \theta \cos \varpi \sin p\cos q+\cos \theta \sin p\sin q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d9ca443de6bc07a76b96f2218a924048b8af391)
on aura
![{\displaystyle r=-s\mathrm {M} \pm {\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}+2\alpha \mathrm {K} \mu '\sin \nu \cos \nu \sin \theta '\cos \theta '\cos \varpi '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94f352c5d74d1adbcb0503bcbf6c2e89c5cec90d)
partant
![{\displaystyle r=-s\mathrm {M} \pm {\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}\pm {\frac {\alpha \mathrm {K} \mu '\sin \nu \cos \nu \sin \theta '\cos \theta '\cos \varpi '}{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe21ba95fbe4fd8d46d48e825cc4836b15817f22)
est, en négligeant les quantités de l’ordre
égal à la distance du point
à la droite
et
est égal à la distance de ce même point à l’axe
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta '=&s\cos \theta +r\sin p\sin q\\=&s\cos \theta -s\mathrm {M} \sin p\sin q\pm \sin p\sin q{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}},\\\sin \theta '\cos \varpi '=&s\sin \theta \cos \varpi +r\sin p\cos q\\=&s\sin \theta \cos \varpi -s\mathrm {M} \sin p\cos q\pm \sin p\cos q{\sqrt {1-s^{2}+s^{2}\mathrm {M} ^{2}}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43b3dd2a3a43be122b113d0c44820efc748a1d8)
En substituant ces valeurs dans les quantités multipliées par
de l’ex-