on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T+A} \psi '(\theta )\left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)\\&+\psi \ \,(\theta )\left[{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}\,\ +\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}\ +{\text{ϐ}}\mathrm {A\ +A'\,} \left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)\right]\\&+\psi _{1}(\theta )\left[{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {A'+A''} \left({\frac {\partial \theta }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\right)\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74587e421deac40da427dd90ef267d5cd5df4ab6)
La fonction
étant arbitraire, il est clair qu’il n’existe aucune relation entre
en sorte que, dans l’équation précédente, les coefficients de ces quantités doivent être séparément égaux à zéro ; on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T} ,\\0=&{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\ +\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}\ +\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}\ +{\text{ϐ}}\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {A} ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/391db504256d7159e136df48f36357b91948038f)
On peut satisfaire à toutes ces équations, excepté aux trois premières, en faisant
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial x}}+\alpha {\frac {\partial \mathrm {N} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {N+T} ,\\0=&{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\ +\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}},\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial x}}\,+\alpha {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial y}}+{\text{ϐ}}\mathrm {A} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ebceebb827b35f0d31b43a4d3e6524ae8fa4731)
Il suffit de trouver pour
et
des valeurs particulières qui satisfassent à ces trois équations : on aura ainsi, pour l’intégrale complète de l’équation (K),
![{\displaystyle z=\mathrm {N+A} \psi (\theta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d98eac21ea26d3f606bf520870c80b70695476)