si les variables
et
sont telles que l’on ait
(2)
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(3)
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il est aisé de voir que l’équation (L) prendra cette forme
(V)
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Il suit de là que toute équation linéaire aux différences partielles du second ordre est réductible à cette forme très simple
(Z)
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et
étant fonctions de
et de
il ne s’agit pour cela que de déterminer
et
de manière que ces variables satisfassent aux équations (2) et (3) ou, ce qui revient au même, à celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=&{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}\left(-{\frac {1}{2}}\alpha +{\sqrt {{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}-{\text{ϐ}}}}\right),\\{\frac {\partial \theta }{\partial x}}=&{\frac {\partial \theta }{\partial y}}\ \left(-{\frac {1}{2}}\alpha -{\sqrt {{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}-{\text{ϐ}}}}\right)\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e86a055952a0034ca61378084fc9bddf5043a)
or, en intégrant ces équations par l’article III, on trouvera pour
et pour
une infinité de valeurs, parmi lesquelles on peut choisir les plus simples ; de ces valeurs, on tirera
et
en fonctions de
et de
et, en substituant ces expressions de
et de
dans l’équation (V), elle se transformera dans l’équation (Z), qui à toute la généralité de l’équation (L), et qui, à cause de la simplicité de sa forme, sera l’objet des recherches suivantes.
Si l’on applique maintenant à l’équation (Z) les raisonnements de l’article IV, on trouvera que son intégrale, toutes les fois qu’elle est