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si les variables $\varpi$ et $\theta$ sont telles que l’on ait

(2)

$0={\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial y^{2}}},$

(3)

$0={\frac {\partial \theta ^{2}}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial \theta ^{2}}{\partial y^{2}}},$

il est aisé de voir que l’équation (L) prendra cette forme

(V)

$0=\mathrm {M} {\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+\mathrm {N} {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+\mathrm {L} {\frac {\partial z}{\partial \theta }}+\mathrm {R} z+\mathrm {T} '.$

Il suit de là que toute équation linéaire aux différences partielles du second ordre est réductible à cette forme très simple

(Z)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz+\mathrm {T} ,$

$m,n$ et $l$ étant fonctions de $\varpi$ et de $\theta \,;$ il ne s’agit pour cela que de déterminer $\varpi$ et $\theta ,$ de manière que ces variables satisfassent aux équations (2) et (3) ou, ce qui revient au même, à celle-ci

${\begin{aligned}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=&{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}\left(-{\frac {1}{2}}\alpha +{\sqrt {{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}-{\text{ϐ}}}}\right),\\{\frac {\partial \theta }{\partial x}}=&{\frac {\partial \theta }{\partial y}}\ \left(-{\frac {1}{2}}\alpha -{\sqrt {{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}-{\text{ϐ}}}}\right)\,;\end{aligned}}$

or, en intégrant ces équations par l’article III, on trouvera pour $\varpi$ et pour $\theta$ une infinité de valeurs, parmi lesquelles on peut choisir les plus simples ; de ces valeurs, on tirera $x$ et $y,$ en fonctions de $\varpi ,$ et de $\theta ,$ et, en substituant ces expressions de $x$ et de $y$ dans l’équation (V), elle se transformera dans l’équation (Z), qui à toute la généralité de l’équation (L), et qui, à cause de la simplicité de sa forme, sera l’objet des recherches suivantes.

Si l’on applique maintenant à l’équation (Z) les raisonnements de l’article IV, on trouvera que son intégrale, toutes les fois qu’elle est