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satisfait à l’équation différentielle

$0={\frac {\partial z}{\partial x}}+\alpha z+\mathrm {T}$

et qu’elle en est l’intégrale complète, puisqu’elle renferme la constante arbitraire $\mathrm {H} \,;$ on voit ainsi que le même principe qui donne les constantes arbitraires sous une forme linéaire, dans les intégrales des équations linéaires aux différences ordinaires, donne pareillement les fonctions arbitraires sous une forme linéaire, dans les intégrales des équations linéaires aux différences partielles.

V.

L’équation générale linéaire aux différences partielles du second ordre est

(L)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\alpha {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}+{\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+\lambda z+\mathrm {T} ,$

$\alpha ,{\text{ϐ}},\gamma ,\delta$ et $\mathrm {T}$ étant des fonctions quelconques de $x$ et de $y.$

On peut la mettre sous une forme plus simple, en changeant les variables $x$ et $y$ en d’autres, $\varpi$ et $\theta ,$ qui soient fonctions de $x$ et de $y,$ en regardant conséquemment $z$ comme fonction de ces nouvelles variables, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial z}{\partial x}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}},\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial y}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}{\frac {\partial \theta ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}\left({\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}\right)\\&+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x\partial y}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}{\frac {\partial \theta }{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \theta ^{2}}}{\frac {\partial \theta ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial y^{2}}}\,;\end{aligned}}$