en suivant ce procédé, il est aisé de conclure généralement
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n}\int z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}dx}{\partial t^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}{\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271d684de344fa0207f544932e205b443db3a34b)
Supposons maintenant qu’en faisant
on ait
étant fonction de
on substituera cette valeur dans
et dans
Soient
et
ce que deviennent alors ces quantités, et l’on aura, dans la supposition de
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d5531b61ba48c0314d7cf9e30ece2fe0a898c96)
partant (art. I)
![{\displaystyle q_{n}={\frac {\partial ^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898c1236a3deb51362103248404b9c060d853f86)
en sorte que l’on aura, par le même article,
(A)
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|
Il ne s’agit plus que de déterminer la fonction de
et de
que
représente, en intégrant l’équation aux différences partielles ![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f429901f11d166f6f3a2cde8c192e35ba0b129)
Pour cela, on observera que
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial \alpha }}d\alpha +{\frac {\partial x}{\partial t}}dt={\frac {\partial x}{\partial t}}(dt+zd\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458c55527f2ac8e283be2fa2ed4c6851c2930a93)
en substituant au lieu de
sa valeur
or on a
![{\displaystyle dt+zd\alpha =d(t+\alpha z)-\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31964c86c4c5571f44c136f4933aee948797ab0a)
donc
![{\displaystyle dx={\frac {\partial x}{\partial t}}d(t+\alpha z)-\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50a665f7df06db407184fa8f8629cafd33423f1e)