Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/374

la valeur entière de $z''$ sera, par conséquent,

${\begin{aligned}z''=&\quad {\frac {m^{2}}{32}}\left(pt^{2}-{\frac {3}{2}}qt\right)\sin t\\&+{\frac {m^{2}}{32}}\left(qt^{2}+{\frac {3}{2}}pt\right)\cos t\\&-{\frac {m^{2}}{64}}\left(qt\ -{\frac {3}{4}}p\ \ \right)\sin 3t\\&-{\frac {m^{2}}{64}}\left(pt\ +{\frac {3}{4}}q\ \ \right)\cos 3t\\&+{\frac {m^{2}p}{768}}\sin 5t+{\frac {m^{2}q}{768}}\cos 5t.\end{aligned}}$

En rassemblant ces trois valeurs de $z,z'$ et $z'',$ on en conclura

$(a')\qquad \left\{{\begin{aligned}y=&\quad \left[p-{\frac {\alpha mq}{4}}\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right)t+{\frac {\alpha ^{2}m^{2}p}{32}}t^{2}\right]\sin t\\&+\left[q-{\frac {\alpha mp}{4}}\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right)t+{\frac {\alpha ^{2}m^{2}q}{32}}t^{2}\right]\cos t\\&+{\frac {\alpha m}{16}}\left[p\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right)-{\frac {\alpha mq}{4}}t\right]\sin 3t\\&+{\frac {\alpha m}{16}}\left[q\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right)-{\frac {\alpha mp}{4}}t\right]\cos 3t\\&+{\frac {\alpha ^{2}m^{2}p}{768}}\sin 5t+{\frac {\alpha ^{2}m^{2}q}{768}}\cos 5t,\end{aligned}}\right.$

expression qui, comme on voit, renferme des arcs de cercle.

IV.

Le procédé que nous venons d’exposer suffit pour intégrer l’équation (A) dans tous les cas possibles, et il est aisé d’en conclure que l’expression générale de $y$ aura la forme suivante

(A’)

$\left\{{\begin{aligned}y=&\quad \left(p+\mathrm {A} t+\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} t^{3}+\ldots \right)\sin ht\\&+\left(q+\mathrm {M} t+\mathrm {N} t^{2}+\mathrm {P} t^{3}+\ldots \right)\cos ht+\mathrm {R} ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ et $\mathrm {M,N,P} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de $p,q,\alpha ,$ et $\mathrm {R}$ étant une fonction rationnelle et entière de ces