étant fonction de
et
pouvant être de plus fonction de
supposons que l’on sache intégrer l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053073dc0e1abc9ed72a4bc23e02ec27ca07b066)
et que son intégrale soit
étant des constantes arbitraires ; en différentiant cette intégrale
fois de suite par rapport à
on aura, en y comprenant l’équation intégrale elle-même,
équations au moyen desquelles on pourra obtenir, par l’élimination, les valeurs des
arbitraires en fonctions de ![{\displaystyle t,y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5917142f0c44bf844adb464903fd9e16194fdf69)
Soient
ces fonctions, en sorte que
![{\displaystyle p=\mathrm {V} ,\qquad q=\mathrm {V} ',\qquad r=\mathrm {V} '',\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/990ae05c5847c8c6bd2ce61586696d18440ead43)
on aura, en différentiant,
![{\displaystyle 0=d\mathrm {V} ,\qquad 0=d\mathrm {V} ',\qquad 0=d\mathrm {V} '',\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8601bcbdc13c63cd4f769f906f51042058ea57a4)
or il est clair que ces différentes équations ne peuvent être que le produit de celle-ci
![{\displaystyle 0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8e3f1ba2560b9c3ca2ac87384755f04aad55ac)
par différents facteurs qui la rendent intégrale et qui sont les coefficients de
dans ces équations. Soient
ces coefficients, et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}d\mathrm {V} \ =&\mathrm {F} \ dt\left({\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} \right),\\d\mathrm {V} '=&\mathrm {F} 'dt\left({\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} \right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e8176e92d6d11502107e8056f81c6c6b90385b)
cela posé, si l’on multiplie la proposée
successivement par
elle prendra les
formes suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&d\mathrm {V\ +\alpha F\ Q} dt,\\0=&d\mathrm {V'+\alpha F'Q} dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43fdc73d5669469ccf9b532a9ef42d619fbb1c49)