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En intégrant, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {V} \ =&p-\alpha \int \mathrm {FQ} dt,\\\mathrm {V} '=&q-\alpha \int \mathrm {F'Q} dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$p,q,\ldots$ étant des constantes arbitraires.

Si l’on suppose maintenant $\alpha =0$ dans ces équations et qu’on en élimine les différences ${\frac {dy}{dt}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}},$ on aura une équation finie entre $y,t,p,q,\ldots$ qui doit, par ce qui précède, se réduire à

$y=\varphi (t,p,q,\ldots ).$

En changeant donc, dans cette expression de $y,\ p$ en $p-\alpha \int \mathrm {FQ} dt,\ q$ en $q-\alpha \int \mathrm {F'Q} dt,\ldots ,$ on aura pour cette même expression, lorsque $\alpha$ est quelconque,

$(\lambda )\qquad \qquad y=\varphi \left(t,p-\alpha \int \mathrm {FQ} dt,q-\alpha \int \mathrm {F'Q} dt,\ldots \right).$

Toutes les fois que $\mathrm {FQ} dt,\mathrm {F'Q} dt,\ldots$ seront des différences exactes, on aura l’intégrale rigoureuse de $y\,;$ or c’est ce qui a lieu lorsque l’équation $(\gamma )$ est linéaire, car alors $\alpha \mathrm {Q}$ est fonction de $t$ seul, et l’on a

$\mathrm {P} =\mathrm {M} {\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\mathrm {N} {\frac {d^{n-2}y}{dt^{n-2}}}+\ldots +\mathrm {S} y,$

$\mathrm {M,N,\ldots ,S}$ étant fonctions de $t$ seul ; de plus, l’intégrale de l’équation

$0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P}$

est visiblement alors de cette forme

$y=pu+qu'+ru''+\ldots ,$

$u,u',u'',\ldots$ étant fonctions de $t\,;$ or il est clair que si, au moyen de cette équation et de ses $n-1$ premières différentielles, on élimine